平均法与KBM法求解Van-der-Pol方程的等价性分析【完整版】.doc

平均法与KBM法求解VanderPol方程的等价性分析【完整版】
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基于平均法的vanderPol方程二次近似解及分析

郝育新1刘彦琦2张伟2
〔1北京机械工业学院机电学院北京1000852北京工业大学机电学院北京100085
作者简介：郝育新〔1972-〕，男，山西左权人，北京机械工业学院根底部讲师，北京工业大学机电学院博士生，主要从事机械系统非线性动力学/工程图学方面的研究。

〕

摘要文章用平均法求得了vanderPol方程的二阶近似解，得到了不同条件下的振动波形和相图，对其极限环的存在和稳定性进行分析，并且和已有文献中的KBM法的二阶近似解做了比拟，其结果相当接近，说明平均法可以得到非常好的精度。

关键词vanderPol平均法自鼓励振动
中图分类号O322文献标识码A

1.引言

在实际工程中非线性振动问题普遍存在[1]，vanderPol方程作为一种典型的有非线性阻尼的自激振动系统，具有丰富的动力学特性，因而是研究的热点之一[2]。张伟和霍拳中[3]用多尺度法参数和强迫鼓励下非线性振动系统的分叉，唐驾时和尹小波[4]用改良的P-L变换法和多尺度法研究了强非线性vanderPol-Duffing系统的分叉问题，彭解华，唐驾时等[5]用多尺度法求出了vanderPol-Duffing系统的一次近似平均方程和极坐标形式的分叉响应方程，许磊、陆明万等[6]通过奇异性理论分析vanderPol-Duffing方程的静态分叉现象，彭解华[7]用KBM法研究参量鼓励vanderPol-Duffing非线性振动系统除亚谐共振外的一切共振和非共振的分叉问题。文献[15,16]也对其分叉进行了研究。包玉兰等[12]用摄动法求解了vanderPol方程的二阶近似解。王东平、周尚波等[13]，利用著名的Poincare-bendixon环域定理给出了vanderPol振子在正阻尼情况下稳定闭轨存在性的一种证明。我们知道平均法是处理非线性振动问题的最有用的方法之一[8]。Chow,S.N.[9]利用平均法研究分叉问题，刘秉正，彭解华[14]对vanderPol方程的稳定性作了详细的讨论。
本文用非线性动力学中广泛使用的平均法[10]求得vanderPol方程的二次近似解，给出时间历程和相图，同时和KBM法的结果[10]进行比拟。

2.vanderPol方程平均法的二次近似解

具有可变非线性阻尼的vanderpol方程为
〔1〕
式中为系统的固有频率，为非线性系数。用平均法[10]求〔1〕的二次近似解，可以将〔1〕变形为
〔2〕

由于，不失一般性可以设，所以有
〔3〕
〔4〕
〔5〕
由文献[10]的方法可以得到

〔6〕

〔7〕
在方程〔6〕〔7〕中，选择和等于长周期项，得到
，
对〔6〕〔7〕进行积分，得
〔8〕
进而可以有

〔9〕

〔10〕
方程〔9〕〔10〕中，选择、分别与方程右端的长周期项相等，可得
〔11〕
将〔9〕〔10〕中长期项去掉，即，，并对去掉、后的〔9〕〔10〕积分，得

〔12〕
〔13〕
方程〔12〕〔13〕中
(14)
由〔14〕式积分得
(15)
从〔15〕发现对于任意的初始扰动，振幅会趋于定常解，由初始条件决定。所以vanderpol方程的二阶近似解为
〔16〕
其中
〔17〕

(18)
从上面的结果可以看出，vanderpol系统的自由振动中有高次谐波项出现，并且自由振动的频率与振幅有关，振动频率的这种随振幅变化的特性称为非线性系统自振动的非等时性。自激振动频率为
(19)
与文献[10]的KBM法所求得的Vanderpol二次近似解结果进行比照，发现系统稳态周期运动近似解的振幅与自激振动频率结果相吻合。

3.vanderpol方程的时间历程与相图及分析

通过计算机的计算可以知道它的相轨道都趋向于一条闭合曲线，这条闭合曲线为极限环。实际上只要＞0，奇点〔0,0〕不稳定，在其周围就会形成极限环。当＜0，奇点〔0,0〕，奇点是稳定焦点，其附近的轨线都要趋于奇点，从而不可能形成极限环并引起振荡。
图1-6为vanderpol方程的时间历程和相图，其中图1-3中初振幅小于定常振幅，图4-6中初振幅大于定常振幅，由这些图形可以看出，随着的增大幅值趋于定常值的速度在加快。极限环的一些特征如：形状、大小等由系统运动方程和固有性质以及方程中的参量及取值决定，与初始状态或扰动无关[14]。

图1b0=0.3,ε=0.03vanderpol方程时间历程(x-t)和相图(x-y)

图2b0=0.3,ε=0.1vanderpol方程时间历程(x-t)和相图(x-y)

图3b0=0.3,ε=1vanderpol方程时间历程(x-