第七章非线性方程与方程组的数值解法优秀文档.ppt

7.4牛顿法（4.2）注意到切线方程为又因所给方程（4.4）实际上是
方程的等价形式.若用
不动点迭代到同一精度要迭代
17次，可见牛顿法的收敛速度
是很快的.解取初值，对
（1）牛顿法
则由上式知，于是依据定理4可以断定，牛顿法
选择下山因子时从开始，逐次将减半进行试
解取初值，对
的交点的横坐标（图7-3).
解设用表7-8的前三个值
例8求.
曲线上横坐标为的点分别记为，
可以是复数，所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根.
则由上式知，于是依据定理4可以断定，牛顿法
在几何上，这种方法的基本思想是用抛物线
比较例7牛顿法的计算结果可以看出，，那么当邻域Δ充分小时，弦截法（5.
如果偏离所求根
以上计算表明，抛物线法比弦截法收敛得更快.
实际上，弦截法具有超线性的收
3简化牛顿法与牛顿下山法
故是的单根.
这里是方程
选择下山因子时从开始，逐次将减半进行试
初值均收敛，并且收
这样求得的值必满足(4.
这三点为节点构造二次插值多项式，并适当选取
若用此法解方程（4.
例10用弦截法解方程
（2）用（4.
对于给定的正数，应用牛顿法解二次方程
17次，可见牛顿法的收敛速度以上两式相除得对任意，总有，故由上式推知，当
时，即迭代过程恒收敛.7.4.3简化牛顿法与牛顿下山法在（4.7）中取，则称为简化牛顿法，这

类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行
弦与轴交点作为的近似.如图7-4所示.（2）牛顿下山法.在附近的一个根.
往较困难，为此可以利用已求函数值
3）看到，即使均为实数，也
解设取作为
定理6假设在根的邻域内具
2）可以看做牛顿公式
止迭代，以作为所求的根；
计算结果如下：
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行
此使用这种方法必须先给出两个开始值.
将牛顿法的计算结果
可以是复数，所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根.
方程的根可解释为曲线与轴
中较接近的一个值作为新的近似根.
来回避导数值的计算.
牛顿法的几何解释.
根式前的符号与的符号相同.与前一步的近似值适当加权平均作为新的改进值，它不满足条件（4.10）.7.4.4重根情形则.用迭代法从而可构造迭代法（2）用（4.13）式计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字，
而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.7.5弦截法与抛物线法因此有程是弦截法与切线法（牛顿法）都是线性化方法，但两者
有本质的区别.定理6假设在根的邻域内具
有二阶连续导数，且对任意有，又初值
，那么当邻域Δ充分小时，弦截法（5.2）将按

阶收敛到根.这里是方程
的正根.7.5.2抛物线法插值多项式例11用抛物线法求解方程以上计算表明，抛物线法比弦截法收敛得更快.7.6解非线性方程组的牛顿迭代法的非线性函数时，称方程组（6.1）为非线
性方程组.其中例12求解方程组即