ch14_2求复合函数偏导数的链式法则.pdf

《数学分析》课程电子课件
教师：杨勤民
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§14.2求复合函数偏导数的链式法则

一、链式法则
二、复合函数的全微分

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一、链式法则

定理如果(1)uxyxyxy(,),(,)在点(,)可导

(2)zfu(,)在对应点((xyxy,),(,))可微

则复合函数zf((,),(,))xyxy在点(,)xy的两
个偏导数存在,且
zzuz

xuxx

zzuz

yuyy

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连线相乘，分线相加

zfuv(,),其中u(,),xyv(,)xy
的链式法则如图示

ux
zzuzv
z
xuxvxvy

ux
zzuzv
z
yuyvyvy

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类似地，设u(x,y)、v(x,y)、ww(x,y)
都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，复合函数
zfxyxywxy((,),(,),(,))在对应点(x,y)的
两个偏导数存在，且可用下列公式计算：

zzuzvzw
u
xuxvxwxx
zv
zzuzvzwy
yuyvywyw

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特别地zf(u,x,y)其中u(x,y)

即zfxyxy((,),,),令vx,wy,
vwv
1,0,0,w1.
xxyy

zfufff
,zu.
xuxxyuyy

区
把zf[(x,y),x,y]把中zfuxy(,,)别
的uy及看作不变类
中的y看作不变而对
而对x的偏导数似
x的偏导数

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u
zx型
v
定理如果函数u(x)及v(x)都在点x可导
函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数zf((),())xx在对应点
x可导，且其导数可用下列公式计算
dddzzuzv
.
dddxuxvx

可推广到中间变量多于两个的情况:
ddddzzuzvzw
如
ddddxuxvxwx

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u22
例1.已知zeuxyxyzzsin,,,求xy及.

uu
解zzuzxuxxexeysin2cos

22
exxyyxyxy2sin()cos()
ux
zzuz
yuyyz
uu
eyexsin2cosvy

22
eyxyxxyxy2sin()cos()

偏导数zxzx的项数,等于链式图中从自变量到达的路径
条数;每项都是若干个偏导数的乘积,每个偏导数都与
路径中的一条线段相对应.

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dz
例2.设而zuvsint,uevt,cost,求.
dt
u
zvt型
t

zz
例3.设zfxxyf(),且具有一阶导数,求及.
xy

x
zu
y型

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例4.设wfxyzxyzf(,),且具有二阶连续偏导数,
ww2
求及.
xzx

解令uxyz,vxyz;ux
wy型
则wfuv(,).vz
ff
记f,f,
1u2v
22ff
ff12
f11,f222,
u2uvv
22
ff1二阶偏ff2
f12f21