数学教学中培养学生的逆向思维能力.doc

浅谈在数学教学中培养学生的逆向思维能力
逆向思维是一种重要的思维方式，它有悖于人们通常的习惯和思维方式，当人们处理、解决问题出现困惑或困难时，采用逆向思维往往能使问题豁然开朗，迎刃而解。在日常工作和生活中，受思维定势的影响，人们总是习惯于采用正向思维去处理、解决问题。学生在学习过程中也习惯于采用正向思维，解决问题一旦采用正向思维出现困难，便苦思冥想也无法解决。因此培养学生的逆向思维能力，对于全面人才的创造能力及解决问题能力具有非常重大的意义，而通过数学教学培养学生的逆向思维能力是重要的渠道之一。
一、在新课教学中培养学生的逆向思维能力
中学数学教材中相对较少出现要运用逆向思维来解决的问题，即使出现这样的内容也引不起师生的注意，因此，利用教材内容对学生进行逆向思维训练的机会不多，由此导致学生的逆向思维能力很差。由于他们受教材内容的影响，使他们的思维活动长期处于正向思维活动之中，因此，给出一个数学问题之后，他们总想力图通过正向思维来解决问题。但是，有很多数学问题利用正向思维很难解决。如果改变一下思维方式，采用逆向思维去思考，就可以使问题得到很方便的解决，甚至可以得出一些创新的解法，获得一些创新的成果。纵观中学数学教材内容，我们还是能找到一些数学知识中应用了逆向思维，如反证法等。于是我们就应该充分利用这些知识在新课教学中加强对学生逆向思维能力的培养。数学证明中的反证法是应用逆向思维的典型例子。
例1：求证：a>b>0?圯■>■(n∈n,n>1)。
说明：如果用正向思维，直接进行证明难度较大，但是，采用逆向思维，我们可以把它的成立等同于其反问题的不成立（反问题即：■≤■）。然后，我们只要证明这个反问题的成立是错的，那么原题即可得证。
证明：假设所求证的结论不成立，则■≤■，即■b矛盾，所以■>■。
在新课讲解中让学生明白有些题目需要我们从问题的多角度去考虑，当从正面考虑出现困难时就要从问题的不同方面去思考。
二、在解题中培养学生的逆向思维能力
1.公式的逆用。由于学生习惯于用正向思维去思考问题，一碰到需要逆用公式才能解决的题目往往便是学生的薄弱之处，因此我们要在解题中利用公式的逆用有意识地培养学生的逆向思维能力。如对数运算法则：
（1）loga(mn)=logam+logan；（2）loga■=logam-logan；（3）logam?琢=αlogam。我们经常会碰到它们的逆用。通过对公式的正向运用和逆用，使学生在解题时灵活应变，一些公式正向运用不能解决的问题，就考虑逆用，这样问题可以得到飞速解决，而且很可能有绝妙的方法。
2.正难则反。当正面思考求解问题遇到困难时，考虑未知量的反面情况，即从条件的反面去进行思索，通过求解反面而抵达正面，这样往往能产生“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之效。
例2：一凸多边形有且只有3个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是多少？
分析：本题若从多边形的内角和去考虑较复杂，但从外角和去考虑，就会轻而易举地得以解决。因为任何多边形的外角和都是360°，而360°=4×90°，故一凸多边形最多有3个外角是钝角，又因为多边形的内角与其相邻的外角是互为邻补角，故一凸多边形最多有3个内角是锐角。而此多边形恰有3个内角为钝角，因此这样的多边形的边数的最大值是6。
3.逆向联想。从问题相反的方向或角度去联想，也能找到解决问题的方法，从而可以发现换个角度看问题有时会有意想不到的收获。
例3：解方程：x4-10x3-2(a-11)x2+2(5a-6)x+2a+a2=0
分析:这是关于未知数x的4次方程，但系数中含有参数a。因为x为4次，直接解此方程很困难，而参数a最高为2次，我们考虑反客为主，视a为未知数，解关于a的二次方程，因此将原方程变形为：a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3+22x2+12x)=0，解得a=x2-6x,或a=x2-4x-2。再解此关于x的二次方程，得x1,2=3±■,x3,4=2±■。
4.逆向化归。人们在处理、解决问题时，按照习惯的思维途径往往会出现较繁、较难或一些逻辑上的困惑，这时，若从问题的另一面入手，对其条件、结论、求解程序、推理步骤进行逆向化归，这种顺繁则逆、正难则反的适时措施会使我们有意外的发现。
例4：若a、b、c为实数，a=a2-2b+π/2,b=b2-2c+π/3,c=c2-2a+π/6，则a、b、c中至少有一个值大于0。
证明：本题不便采用分情况讨论的方法，而宜采用逆向思维的方法，将所要证明的命题转化为证明一个更强的结论。事实上，只要证明a+b+c>0，原命题也就得到了证明。
∵a+b+c
=a2-2b+π/2+b2-2c+π/3+c2-2a+π/6
=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+π-3>0
∴a、b、c