2023版高考数学一轮复习核心素养测评四十八空间直角坐标系空间向量及其运算理北师大版.doc

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核心素养测评四十八空间直角坐标系、空间向量及其运算
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若α∥β,则k= ()
A.2 B.4 C.-2 D.-4
【解析】选B.因为α∥β,所以两个平面的法向量也平行,所以=,即k=4.
2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足||=||,则P点坐标为 ()
A.(3,0,0) B.(0,3,0)
C.(0,0,3) D.(0,0,-3)
【解析】选C.设P(0,0,z),
则有
=,解得z=3.
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角θ为 ()
A.30°B.60°C.120°D.150°
【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0,所以2|a||b|cosθ+|b|2=0,又因为|a|=|b|≠0,所以cosθ=-,所以θ=120°.
4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是 ()
A.=2-2-
B.=++
C.+=3-
D.+=4+
【解析】选C.C项可变形为=++,因为++=1,所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.
5.在空间四边形ABCD中,·+·+·= ()
A.-1 B.0 C.1 D.不确定
【解析】选B.如图,令=a,=b,=c,
则·+·+·
=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,
所以·=0,·=0,·=0.
所以·+·+·=0.
6.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为
()
A.B.C.4D.8
【解析】选B.设向量a和b的夹角是θ,则由空间向量的数量积公式和题意得cosθ==
=,
所以sinθ==,所以以a和b为邻边的平行四边形的面积为
S=2××|a|×|b|×=.
7.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是
()
A.(4,0,3) B.(3,1,3)
C.(1,2,3) D.(2,1,3)
【解析】选B.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为x,y,z.则p=x(a+b)+y(a-b)+zc
=(x+y)a+(x-y)b+zc,①
因为p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),
所以p=4a+2b+3c,②
由①②得所以
即p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________________.
【解析】因为a∥b,所以==,
解得x=2,y=-4,
此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),
又因为b⊥c,所以b·c=0,
即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).
答案:(3,-2,2)
9.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________________.
【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),
P(0,0,a),E1,1,.
所以=(0,0,a),=-1,1,.
由cos<,>=,所以=a·,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).
答案:(1,1,1)
10.如图,已知在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长为________________.
【解析】设=a,=b,=c,
由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,
<a,b>=90°,<b,c>=90°,<a,c>=60°,
||2=|++|2=|-c+b+a|2
=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=68,
则||=2.
答案:2cm
(15分钟35分)
1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于 ()
A. B.3 C.3 D.2
【解析】选B.-+=-(-)==3.
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