课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题(选用).doc

课时跟踪检测(五十三)最值、范围、证明问题(选用)
(分Ⅰ、Ⅱ卷，)
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，其焦点F到准线的距离为eq\f(1,2).
(1)试求抛物线C的方程；
(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t＞0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．

2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为eq\f(1,2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．

3.(2013·南京二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．

第Ⅱ卷：提能增分卷
1．(2014·石家庄模拟)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)、F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点．
(1)若△ABF2为正三角形，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的离心率满足0＜e＜eq\f(\r(5)－1,2)，O为坐标原点，求证：|OA|2＋|OB|2＜|AB|2.

2.(2013·西安质检)如图，已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为2的正方形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于A，B两点，当△OAB面积最大时，求直线l的方程．

答案

第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．解：(1)因为焦点F到准线的距离为eq\f(1,2)，所以p＝eq\f(1,2).故抛物线C的方程为x2＝y.
(2)设P(t，t2)，Q(x，x2)，N(x0，xeq\o\al(2,0))，则直线MN的方程为y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)．
令y＝0，得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，0))，
所以kPM＝eq\f(t2,t－\f(x0,2))＝eq\f(2t2,2t－x0)，kNQ＝eq\f(x\o\al(2,0)－x2,x0－x)＝x0＋x.
因为NQ⊥QP，且两直线斜率存在，
所以kPM·kNQ＝－1，即eq\f(2t2,2t－x0)·(x0＋x)＝－1，
整理，得x0＝eq\f(2t2x＋2t,1－2t2).①
又Q(x，x2)在直线PM上，
则与共线，得x0＝eq\f(2xt,x＋t)，②
由①②，得eq\f(2t2x＋2t,1－2t2)＝eq\f(2xt,x＋t)(t＞0)，
所以t＝－eq\f(x2＋1,3x)，
所以t≥eq\f(2,3)或t≤－eq\f(2,3)(舍去)．
所以所求t的最小值为eq\f(2,3).
2．解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，
得c＝1.
因为椭圆C的离心率为e＝eq\f(1,2)，
所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.
(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y并整理得(3＋4k2)·x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，则x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2).
所以x3＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4k2,3＋4k2)，
y3＝k(x3－1)＝eq\f(－3k,3＋4k2).
线段MN的垂直平分线的方程为
y＋eq\f(3k,3＋4k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－