课时跟踪检测(五十四) 定点、定值、探索性问题(选用).doc

课时跟踪检测(五十四)定点、定值、探索性问题(选用)(分Ⅰ、Ⅱ卷，)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆C过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))，点F(－eq\r(2)，0)是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.2.(2013·济南模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点(2，eq\r(2))．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kAC·kBD＝－eq\f(b2,a2).求证：四边形ABCD的面积为定值．3.(2013·北京东城区期末)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(－1,0)且与曲线C交于A，B两点．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)△AOB的面积是否存在最大值，若存在，求出△AOB的面积的最大值；若不存在，说明理由．第Ⅱ卷：提能增分卷1.已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，点F1，F2分别为其左、右焦点，点A为左顶点，直线l的方程为x＝4，过点F2的直线l′与椭圆交于异于点A的P，Q两点．(1)求·的取值范围；(2)若AP∩l＝M，AQ∩l＝N，求证：M，N两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值．2.(2013·合肥模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,3－m2)＝1(0＜m2＜3)有公共的焦点，过椭圆E的右顶点R任意作直线l，设直线l交抛物线y2＝2x于M，N两点，且OM⊥ON.(1)求双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(\f(6,4),b2)＝1，,a2－b2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝2，))∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，可知|PF|＝eq\r(x1＋\r(2)2＋y\o\al(2,1))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\r(2)))2＋2－\f(x\o\al(2,1),2))＝2＋eq\f(\r(2),2)x1，同理|QF|＝2＋eq\f(\r(2),2)x2，|MF|＝eq\r(1＋\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝2＋eq\f(\r(2),2)，∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)))＝4＋eq\f(\r(2),2)(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2.(ⅰ)当x1≠x2时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋2y\o\al(2,1)＝4，,x\o\al(2,2)＋2y\o\al(2,2)＝4.))得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2n)，得线段PQ的中垂线方程为y－n＝2n(x－1)，∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一定点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).(