第1章 插值法.ppt

12345678（2)Taylor余项

（3)Taylor插值
求做n次多项式，使满足

例题：求做在的一次和二次Taylor多项式，利用它们计算的近似值并估计误差。（P14)10其中为待定系数，由条件可得

故(2.2)

对应于每一节点，都能求出一个满足插值条件（2.1）的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插插多项式。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。12131415161718
的n次插值多项式，则对于任何，有

其中且依赖于。
证明由插值条件知，即插值节点都是的零点，故可设
(2.10)
其中为待定函数。下面求，对区间上异于的任意一点作辅助函数

不难看出具有如下特点:
⑴(2.11)
202122232.5Aitken算法
Lagrange插值法中，若要增加一个插值节点，所有系数都要重算
Aitken算法将一个高次的插值过程归结为线性插值的多次重复
Aitken算法可在逐次线性插值的过程中控制计算精度，便于程序设计
有关记号

表示用进行k次插值所得结果。Aitken插值表Aitken算法流程图273.1具有承袭性的插值公式29303132（3.2）称为Newton基本插值多项式，常用来计算非等距节点上的函数值。343536因此，Newton插值多项式是插值多项式的另一种表示形式,与Lagrange插值多项式相比较，不仅克服了“增加一个节点时整个计算机工作必须重新开始”﹙见例1﹚的缺点，而且可以节省乘﹑除法运算次数。同时，在Newton插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其它方面有着密切的关系.

3.3向前差分与Newton插值公式
设函数ƒ﹙x﹚在等距节点处
的函数值为已知，其中h是正常数，称为步长，称两个相邻点和处函数值之差为函数ƒ﹙x﹚在点处以h为步长的一阶向前差分﹙简称一阶差分﹚，记作，即

于是，函数ƒ﹙x﹚在各节点处的一阶差分依次为

又称一阶差分的差分
为二阶差分。3839404142

因很接近，且由差分表2可以看出，三阶差分接近于常数（即接近于零），故取作为的近似值，此时由余项公式（3.3）可知其截断误差

3.4向后差分与Newton向后插值公式
在等距节点下，除了向前差分外，还可引入向后差分和中心差分，其定义和记号分别如下：
在点处以h为步长的一阶向后差分和m阶向后差分分别为
44454647§4Hermite插值4.2Hermite插值多项式的基函数表示

4.3只含有两个节点的Hermite插值多项式满足条件的Hermite插值多项式为§5分段低次插值
一、Runge现象例2、例4表明，适当地提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度。但是决不可由此提出结论，认为插值多项式的次数越高越好。例如，对函数

先以为节点作五次插值多项式，再以
为节点作十次插值多项式，并将曲

线描

绘在同一坐标系中，如图5所示。5354552.分段线性插值函数的表示

其中基函数可表示为

3.分段线性插值的误差估计

572.分段三次Hermite插值的表示

在[a,b]上用插值基函数表示为

其中

4.分段Hermite插值多项式的误差估计60图7626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394一、直线拟合直线拟合问题的求解
图8二、曲线拟合的最小二乘问题三、最小二乘问题的求解100101四、多项式拟合4.正则化方程组解的唯一性

定理当xi(i=1,2,…,N)互异时，正则化方程组（6.9）解唯一。若将其解记为aj(j=1,2,…,m)，则必为最小二乘问题(6.7)的解.

5.五点二次修匀公式

104105106107108109110