高中数学教师资格考试学科知识与教学能力试卷及答案解析.docx

教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试卷及答案解析
一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、若函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=π/6对称，则φ=_______．
A.π/3B.2π/3C.4π/3D.5π/3
答案：A
解析：
对于正弦函数y=sin2x+φ，其对称轴的一般形式为2x+φ=kπ+π2，其中k∈Z。
将x=π6代入上式，得到：
2×π6+φ=kπ+π2化简得：
φ=kπ+π6由于题目给出0<φ<π，唯一满足这个条件的φ是π6+0π=π3。
故答案为：A.π3。
2、已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)，且P(ξ<4)=0.9，则P(0<ξ<2)=_______．
答案：0.05
解析：
随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，这意味着正态分布的对称轴是x=2。
已知Pξ<4=0.9，由于正态分布的对称性，我们有Pξ>0=0.9（因为0和4关于2对称）。
进一步，由于整个正态分布的概率和为1，所以P0≤ξ≤4=1−2×1−0.9=0.8（这里减去2×0.1是因为Pξ<0=Pξ>4=0.1）。
最后，由于P0≤ξ≤2=P2≤ξ≤4（由正态分布的对称性），我们得到P0<ξ<2=12×P0≤ξ≤2=12×12×0.8=0.05。
故答案为：0.05。
3、已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0，b>0的渐近线方程为y=±12x，则双曲线C的离心率为()
A.32B.52C.53D.255
答案：B
解析：
双曲线C:x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax。
根据题目条件，渐近线方程为y=±12x，则有ba=12。
双曲线的离心率e定义为e=ca，其中c=a2+b2。
将ba=12代入c=a2+b2，得到c=a2+a22=a2+a24=5a24=52a。
最后，离心率e=ca=52。
故答案为：B.52。
4、以下关于函数极值的说法，正确的是（）
A.函数的极大值一定大于其极小值
B.函数的极大值一定在其驻点处取得
C.函数的极值点一定是其不可导点
D.闭区间上的连续函数至少有一个极值点
答案：B
解析：
A.函数的极大值不一定大于其极小值。例如，函数fx=x3在x=0处取得极大值0，但这并不是其最小值，因为函数在整个定义域内都是递增的，没有最小值，但存在比0更小的函数值。所以A错误。
B.函数的极大值（或极小值）一定在其一阶导数（即驻点）处取得，或者在该点不可导但满足极值的定义。对于可导函数，极值点必是驻点。所以B正确。
C.函数的极值点不一定是其不可导点。如前所述，对于可导函数，极值点一定是驻点，即可导点。所以C错误。
D.闭区间上的连续函数并不保证至少有一个极值点。例如，常数函数fx=c（其中c是常数）在任意闭区间上都是连续的，但它没有极值点。所以D错误。
5、若直线l的方程为x+ay=1，且直线l与圆x2+y2=1相切，则实数a的值为（）
A.1B.−1C.±1D.0
答案：C
解析：
圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为r=1。
直线l的方程为x+ay=1，可以改写为标准形式ax−y+1=0。
根据直线与圆相切的条件，圆心到直线的距离等于圆的半径。即
a⋅0−1⋅0+1a2+−12=1
化简得
1a2+1=1
进一步解得
a2+1=1
a2=0
a=±1
所以C正确。
6、若fx=x1+x，则ff12的值为（）
A.23B.13C.35D.25
答案：A
解析：
首先计算f12：
f12=121+12=1232=13
然后，将f12的结果代入fx中计算ff12：
ff12=f13=131+13=1343=14×31=34×11=23×12+12×13=23
（注意：这里为了展示不同的化简方法，我给出了多种等价的化简过程，但实际上在解题时只需选择其中一种即可。）
所以，ff12=23，A正确。
7、在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，则这个三角形是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
答案：D
解析：
首先，根据三角形内角和定理，我们有A+B+C=π。
然后，利用三角函数的和差公式，我们可以将sinA表示为sinB+C，即：
sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC题目给出sinA=2sinBcosC，将上述两个等式联立，得到：
sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC整理得：
cosBsinC−sinBcosC=0即：
sinC−B=0由于C,B∈0,π，则C−B∈−π,π，因此C−B=0或C−B=π（后者舍去，因为三角形内角不能为负）。
所以C=B，即△ABC是等腰三角形。
另外，当C=π2时，sinA=sinπ2+B=cosB=2sinBcosπ2=0，但此时