2014届高考数学：121变化率与导数、导数的计算.doc

一、选择题
1．函数f(x)＝eq\f(lnx,x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝()
A．－eq\f(1,e)B.eq\f(1,e)C.eq\f(1,e2)D．e2
解析：与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f′(x0)＝eq\f(\f(1,x0)·x0－lnx0,x\o\al(2,0))＝eq\f(1－lnx0,x\o\al(2,0))＝0，故x0＝e，∴f(x0)＝eq\f(1,e).
答案：B
2．阅读下图所示的程序框图，其中f′(x)是f(x)的导数．已知输入f(x)＝sinx，运行相应的程序，输出的结果是()

A．sinxB．－sinx
C．cosxD．－cosx
解析：f1(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝cosx，它以4为周期进行变换，
故f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.
答案：D
3．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()
A．[0，eq\f(π,4))B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))
C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]D．[eq\f(3π,4)，π)
解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝eq\f(－4ex,1＋ex2)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)，因为ex＞0，所以由基本不等式得k≥eq\f(－4,2\r(ex×\f(1,ex))＋2)，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以eq\f(3π,4)≤α＜π.
答案：D
4．有一机器人的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()
A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)
C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)
解析：∵s(t)＝t2＋eq\f(3,t)，∴s′(t)＝2t－eq\f(3,t2)，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).
答案：D
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()
A．－1B．－2C．1D．2
解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝－2，选B.
答案：B
6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{eq\f(1,fn)}的前n项和为Sn，则S2011的值为()
A.eq\f(2010,2011)B.eq\f(2009,2010)
C.eq\f(2008,2009)D.eq\f(2011,2012)
解析：f′(x)＝2x＋b，由f′(1)＝2＋b＝3，得b＝1.
于是eq\f(1,fn)＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，
S2011＝eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋…＋eq\f(1,f2011)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2011)－eq\f(1,2012)＝1－eq\f(1,2012)＝eq\f(2011,2012).
答案：D
二、填空题
7．函数y＝sinx＋cosx在x＝π处的切线方程是________________．
解析：∵当x＝π时，y＝sinπ＋cosπ＝－1，
∴切点为(π，－1)．
∵y′＝cosx－sinx，∴k＝cosπ－sinπ＝－1，
根据点斜式可得此切线的方程为：y＋1＝－1×(x－π)，即y＝－x＋π－1.
答案：y＝－x＋π－1
8．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于x轴的切线，则实数a的取值范围是__________．
解析：依题意得f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)＝0，(x＞0)有实根，
∴a＝－eq\f(1,3x3)＜0.
答案：(－∞，0)
9．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________．
解析：设P(x0，y0)(x0＜0)．由