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浅谈分块矩阵在行列式中的应用（完整版）实用资料
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浅谈分块矩阵在行列式中的应用
引言:在行列式的计算中,计算方法不胜枚举,它们都是以整个行列式为对象，计算不免有些麻烦，我们能否将其分成若干块，即分块矩阵来计算整个行列式的值呢？满足这种情况的行列式有怎样特殊的性质呢？
我们知道行列式有如下性质：
1行列式的某一行加上另一行的倍，行列式的值不变。（性质6）
2用一个数乘以行列式等于行列式的某一行或某一列。（性质2）
3互换行列式中两行的位置，行列式反号。（性质4）
在课本中我们计算过的值。
通过按某行某列展开可得，若设
，则有

后又推广为=
这里我们已经运用了分块矩阵的思想，下面来介绍分块矩阵的某些性质。
设方阵是由如下分块矩阵组成

其中都是阶矩阵，又是任一阶方阵
性质1：
若,则

证明：
由行列式的性质得
性质2:若，则有.
证明：此性质就相当于行列式的性质2.

性质3：设，则有
，m为自然数。
依据行列式的性质4，可得证。
计算行列式.
解：设，
则

这里的可推广为任一阶矩阵.
=
=
证明:设都是阶方阵,其中并且,则有
.
证明:由性质可得

又

故得证。第九章矩阵和行列式初步
格致中学王国伟

第一课时9.1矩阵的概念（1）
[教学目标]
1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题；
2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念；
3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念；
4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。
[教学重点]
1、与矩阵有关的概念；
2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。
[教学难点]
学习矩阵的目的。
[教学过程]
一、情境设置、引入：
引例1：已知向量，如果把的坐标排成一列，可简记为；
引例2：2021年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表：
奖项
国家（地区）金牌银牌铜牌中国512128美国363836俄罗斯232128我们可将上表奖牌数简记为：；
引例3：将方程组中未知数的系数按原来的次序排列，可简记为；若将常数项增加进去，则可简记为：。
二、概念讲解：
1、上述形如、、、这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为列向量；由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵，阶矩阵可记做，如矩阵为阶矩阵，可记做；矩阵为阶矩阵，可记做。有时矩阵也可用、等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个阶矩阵中的第（）行第（）列数可用字母表示，如矩阵第3行第2个数为。
4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如为一个阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有行（列），可称此方阵为阶方阵，如矩阵、均为三阶方阵。在一个阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵为2阶单位矩阵，矩阵为3阶单位矩阵。
6、如果矩阵与矩阵的行数和列数分别相等，那么与叫做同阶矩阵；如果矩阵与矩阵是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵与矩阵叫做相等的矩阵，记为。
7、对于方程组中未知数的系数按原来的次序排列所得的矩阵，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵叫做方程组的增广矩阵。
三、应用举例：
例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：
各阶段
姓名第1组第2组第3组第4组总成绩张娟娟26272928110朴成贤29262628109（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩形表示；
（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。
解：（1）
（2）有两个行向量，分别为：，
，
它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩；
有五个列向量，分别为
它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。
例2、已知矩阵且，求、的值及矩阵。
解：由题意知：解得：，又由解得：，

例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1）；（2）
解：（1）；（2）
例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1）（2）
解：（1）（2）
例5、已知矩阵为单位向量，且，求的值。
解：由单位向量定义可知：，，
。
四、课堂练习：
1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个阶方阵（胜用1表示，输用表示，相同则为0）。
解：
2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：
中国平新西兰1∶1巴西胜比利时1∶0中国负比利时0∶2
巴西胜新西兰5∶0中国负巴西0∶3比利时胜新西兰0∶1
（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）
（2）若胜一场可得3分