北京市顺义区2013届高三二模 理科数学 WORD版含答案.doc

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北京市顺义区2013届高三第二次统练
数学试卷(理工类)

一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,则
A. B. C. D.
2.复数
A. B. C. D.
3.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为
开始

输出s
结束
否
是
A. B. C. D.
4.执行如图所示的程序框图,输出的值为
A. B.
C.4 D.5

5.已知数列中,,等比数列的公比满足,且,则
A. B.
C. D.
6.设变量满足约束条件则的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点,且,则的最大值为
A. B. C. D.
8.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为
A. B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上)
9.的展开式中含的项的系数为(用数字作答).
10.设的内角的对边分别为,且,则,的面积.
11.如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则.
正(主)视图
侧(左)主视图
俯视图
2
4
5
h
12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则m.

13.已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为,渐近线方程为.
14.设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数.当时,;当且时,.则函数在上的零点个数为.
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(I)求的值;
(II)求函数的最小正周期及单调递减区间.

16.(本小题满分14分)
如图,在长方体中,,为的中点,为的中点.
(I)求证:平面;
(II)求证:平面;
(III)若二面角的大小为,求的长.

17.(本小题满分13分)
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:.
(I)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;
(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.
20
25
30
35
40
45
年龄/岁
频率/组距
0.07
0.02
x
0.04
0.01
O
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中为正实数,.
(I)若是的一个极值点,求的值;
(II)求的单调区间.

19.(本小题满分14分)
已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.
(I)求椭圆的方程;
(II)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.

20.(本小题满分13分)
已知函数,其中为大于零的常数,,函数的图像与坐标轴交点处的切线为,函数的图像与直线交点处的切线为,且.
(I)若在闭区间上存在使不等式成立,求实数的取值范围;
(II)对于函数和公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

顺义区2013届高三第二次统练
数学试卷(理工类)参考答案

一、ABBABCDC
二、9.36 10. 11.
12.4 13. 14.6
三、15.解:(I)

.……………………………………………………………4分
(II),得
故的定义域为.
因为

,
所以的最小正周期为.
因为函数的单调递减区间为,
由,
得,
所以的单调递减区间为.
……………………………………………………………13分
16.(I)证明:在长方体中,
因为平面,
所以.
因为,
所以四边形为正方形,
因此,
又,
所以平面.
又,且,
所以四边形为平行四边形.
又在上,
所以平面.
……………………………………………………………4分
(II)取的中点为,连接.
因为为的中点,所以且,
因为为的中点,所以,
而,且,
所以,且,
因此四边形为平行四边形,
所以,而平面,
所以平面.
……………………………………………………………9分
(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,
则,
故.
由(I)可知平面,
所以是平面的一个法向量.
x
y
z
设平面的一个法向量为,
则,
所以
令,则,
所