设和是区间上的连续函数.doc

设和是区间上的连续函数（完整版）实用资料
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习题4.1

设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。
证明：假设在，在区间上线形相关
则存在不全为零的常数，，使得
那么不妨设不为零，则有
显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关
证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程
（1）
（2）
的解，则+是方程+的解。
证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解
则：（3）
（4）
那么由（3）+（4）得：
+
即+是方程是+的解。
试验证0的基本解组为，并求方程的通解。
证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，
同理求得也是该方程的解
又显然线形无关，故是0的基本解组。由题可设所求通解为：，则有：

解之得：
故所求通解为：
试验证0有基本解组t，，并求方程
t-1的通解。
解：由题将t代入方程0得：
，即t为该方程的解
同理也是该方程的解，又显然t，线形无关，
故t，是方程0的基本解组
由题可设所求通解为，则有：

解之得：
故所求通解为
以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。
解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得：
于是：
令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：
解得：故
又该方程适合初始条件，于是：
解得：故
显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：
，
而此方程同时满足初始条件，于是：
解得：
故满足要求的解。
设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有：

解：
又满足
即

则：
即则有：

即：
假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里
在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数,
证：（１）

（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式

两边都乘以则有：，于是：

从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。
试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。
证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则：（1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。
事实上：假设存在常数，使得：

（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！
从而有
又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，
故有：
即（1）是线形无关的。

闭区间上二次函数的最值

二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。
一.定二次函数在定区间上的最值
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。

图1

例2.已知，求函数的最值。
解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2
解后反思：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m，n]上的最大值或最小值：
（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时
若，由在上是增函数
则的最小值是，最大值是
若，由在上是减函数
则的最大值是，最小值是

二.动二次函数在定区间上的最值
二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例3.已知，且，求函数的最值。
解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：

二次函数的对称轴方程是
顶点坐标为，图象开口向上
由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。
函数的最小值是，最大值是。

图3

例4.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。
解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。
若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5
即
解得
故

图4
若时，函数图象开口向上，如图5所示，当时，函数取得最大值5
即
解得
故

图5
综上讨论，函数在区间上取得最大