2019届全国通用高考数学二轮复习板块三专题突破核心考点专题六函数与导数第4讲导数的热点问题讲义.ppt

热点分类突破热点分类突破用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.解答解由f(x)＝ex(aex－a－x)≥0对于x∈R恒成立，
设函数g(x)＝aex－a－x，
可得g(x)＝aex－a－x≥0对于x∈R恒成立，
∵g(0)＝0，∴g(x)≥g(0)，
从而x＝0是g(x)的一个极小值点，
∵g′(x)＝aex－1，∴g′(0)＝a－1＝0，即a＝1.
当a＝1时，g(x)＝ex－1－x，g′(x)＝ex－1，
∵x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上单调递减，
x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(0)＝0，故a＝1.证明证明当a＝1时，f(x)＝e2x－ex－xex，
f′(x)＝ex(2ex－x－2).
令h(x)＝2ex－x－2，则h′(x)＝2ex－1，
∴当x∈(－∞，－ln2)时，h′(x)<0，h(x)在(－∞，－ln2)上为减函数；
当x∈(－ln2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在(－ln2，＋∞)上为增函数，
∵h(－1)<0，h(－2)>0，
∴在(－2，－1)上存在x＝x0满足h(x0)＝0，
∵h(x)在(－∞，－ln2)上为减函数，
∴当x∈(－∞，x0)时，h(x)>0，
即f′(x)>0，f(x)在(－∞，x0)上为增函数，当x∈(x0，－ln2)时，h(x)<0，
即f′(x)<0，f(x)在(x0，－ln2)上为减函数，
当x∈(－ln2,0)时，h(x)<h(0)＝0，
即f′(x)<0，f(x)在(－ln2,0)上为减函数，
当x∈(0，＋∞)时，h(x)>h(0)＝0，
即f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－ln2，＋∞)上只有一个极小值点0，
综上可知，f(x)存在唯一的极大值点x0，
且x0∈(－2，－1).∵h(x0)＝0，∴2－x0－2＝0，用导数证明不等式的方法
(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，则f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.
(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).
(3)证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.解答①当a≤0时，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
②当a>0时，证明证明令g(x)＝f(x)－2ax＋xeax－1
＝xeax－1－ax－lnx，∴h(t)≥h(e2)＝0；
∴g(x)≥0，故f(x)≥2ax－xeax－1.解答解∵函数f(x)在[0，＋∞)内单调递增，解答知f′(x)在区间(－a，＋∞)内单调递增.当－a<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
∴f(x)min＝f(x0)＝－2a－ln(x0＋a)(1)函数y＝f(x)－k的零点问题，可转化为函数y＝f(x)和直线y＝k的交点问题.
(2)研究函数y＝f(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.跟踪演练2(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a.解设函数h(x)＝1－ax2e－x.
f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点.
(ⅰ)当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；
(ⅱ)当a>0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.
当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.因为h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点；
由(1)知，当x>0时，ex>x2，解答解设需新建n个桥墩，解答令f′(x)＝0，得＝64，所以x＝16.
当0<x<16时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,16)内为减函数；
当16<x<96时，f′(x)>0，f(x)在区间(16,96)内为增函数，
所以f(x)在x＝16处取得最小值，利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).
(2)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求最值：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小