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高等数学（第七版·下册）同济大学知识点

一、多元函数微分学

多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，研究的是
多元函数的导数、微分以及应用。在本章中主要介绍了以下几

个知识点：

1.偏导数与全微分

•偏导数：多元函数的偏导数是指函数在某一点上某

个自变量的变化率。

•全微分：多元函数的全微分是在某一点上，函数值

关于自变量的微小变化量。

2.高阶偏导数与多元函数的泰勒展开式

•高阶偏导数：多元函数的高阶偏导数是指对多个自

变量进行重复求导的结果。

•多元函数的泰勒展开式：用多项式逐次逼近函数的

方法，可以近似表示函数在某一点附近的取值。

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3.隐函数与参数方程的求导

•隐函数求导：对于由方程定义的函数，可以通过偏

导数求导的方法来求解其导数。

•参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，可以

通过链式法则将参数的导数转化为函数关于参数的导数。

4.方向导数与梯度

•方向导数：多元函数在某一点沿着给定方向的变化

率。

•梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向

函数值增加最快的方向，模表示变化率最大的值。

5.多元函数的极值与条件极值

•多元函数的极值：函数取得的最大值或最小值。

•条件极值：在满足一定条件下，函数取得的最大值

或最小值。

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6.格林公式与高斯公式

•格林公式：二维平面上的曲线积分与这个曲线所围

成的区域上的面积分之间的关系。

•高斯公式：三维空间中，某个闭合曲面上的散度与

这个曲面所围成的空间区域内的体积分之间的关系。

二、多元函数积分学

多元函数积分学是研究多元函数的积分以及应用的学科。

本章介绍了以下几个知识点：

1.二重积分

•二重积分的概念：二重积分是将二元函数沿着某一

平面区域上的小面积元素进行累加得到的量。

•二重积分的性质：二重积分具有线性性、可加性、

保号性等性质。

2.二重积分的计算方法

•基本的计算方法：可以通过把二重积分化为累次积

分的形式进行计算。

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•坐标变换法：通过变换坐标系，使得被积函数的形

式更简单，从而更容易计算。

3.三重积分

•三重积分的概念：三重积分是将三元函数沿着某一

个空间区域上的小体积元素进行累加得到的量。

•三重积分的性质：三重积分具有线性性、可加性、

保号性等性质。

4.三重积分的计算方法

•直角坐标系中的计算方法：可以通过将三重积分化

为多个累次积分的形式进行计算。

•柱坐标系和球坐标系中的计算方法：通过变换坐标

系，使得被积函数的形式更简单，从而更容易计算。

5.曲线、曲面与积分定理

•曲线积分：沿着曲线对函数进行积分的操作。

•曲面积分：对曲面上的函数进行积分的操作。

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6.曲线积分和曲面积分的计算方法

•参数方程法：通过曲线或曲面的参数方程，将积分

转化为参数的积分。

•向量场法：通过向量场的性质，进行积分计算。

三、无穷级数

无穷级数是高等数学中一个重要的内容，研究的是无限个

数的和。在本章中主要介绍了以下几个知识点：

1.数项级数的概念

•数项级数：无穷个数的和，可为无穷级数或级数。

•收敛和发散：如果数项级数的和存在有限的极限，

称该级数收敛；否则称该级数发散。

2.数项级数的性质

•级数的和与部分和的关系。

•级数的收敛性质和判定方法。

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3.收敛级数的审敛法

•比较审敛法：通过与其他已知的级数进行比较，判

断级数是否收敛。

•极限审敛法：通过求级数中各个数项的极限，判断

级数是否收敛。

4.幂级数与函数展开

•幂级数：是无穷多项函数之和，其中每一项都是常

数乘以自变量的幂。

•麦克劳林级数：是一种特殊的幂级数，用于近似表

示函数的展开式。

5.函数项级数

•函数项级数：是由函数组成的级数，其中每一项都

是函数与自变量的幂的乘积。

6.收敛函数项级数的性质

•省略法与绝对收敛：对于收敛的函数项级数，可以
通过省略级数中的有限项来近似计算，同时也可以判断级

数的绝对收敛性。
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以上是《高等数学（第七版·下册）》同济大学课程的知识
点概述。通过学习这些知识点，可以对多元函数微分学、多元
函数积分学以及无穷级数有更深入的理解，为更高级的数学学

科打下坚实的基础。

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