数论初步数的整除性.doc

数论初步(一)
主讲老师：李晓均
整数的整除性
定义：设a，b为二整数，且b≠０，如果有一整数c，使a＝bc，则称b是a的约数，a是b的倍数，又称b整除a，记作b|a.
显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０.
性质：设a，b，c均为非零整数，则
①．若c|b，b|a，则c|a.
②．若b|a，则bc|ac
③．若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|ma＋nb
④．若b|ac，且(a，b)＝1，则b|c证明：因为(a，b)＝1则存在两个整数s，t，使得as＋bt＝1∴asc＋btc＝c∵b|acb|asc∴b|(asc＋btc)b|c
⑤．若(a，b)＝1，且a|c，b|c，则ab|c证明：a|c，则c＝as(s∈Z)又b|c，则c＝bt(t∈Z)又(a，b)＝1∴s＝bt'(t'∈Z)于是c＝abt'即ab|c
⑥．若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c
⑦．(a－b)|(an－bn)(n∈N)，(a＋b)|(an＋bn)(n为奇数)
整除的判别法：设整数N＝
①.2|a12|N，5|a15|N
②.3|a1＋a2＋…＋an3|N
9|a1＋a2＋…＋an9|N
③.4|4|N
25|25|N
④.8|8|N
125|125|N
⑤．7||－|7|N
⑥．11||－|11|N
⑦．11|[(a2n＋1＋a2n－1＋…＋a1)－(a2n＋a2n－2＋…＋a2)]11|N
⑧．13||－|13|N
推论：三个连续的整数的积能被６整除.
例题：
1.设一个五位数，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除.解：11|∴11|a＋c＋d－b－a即11|c＋3∴c＝81≤a≤9，且a∈Z
2.设72|，试求a，b的值.解：72＝8×9，且(8，9)＝1∴8|，且9|∴8|b＝6且9|a＋6＋7＋3＋6即9|22＋a∴a＝5
3.设n为自然数，A＝3237n－632n－855n＋235n，求证:1985|A.证明：∵1985＝397×5
A＝(3237n－632n)－(855n－235n)
＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z)
＝5×521×u－5×124×v
∴5|A
又A＝(3237n－855n)－(623n－235n)
＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z)
＝397×6×s－397×t
∴397｜A
又∵(397,5)＝1∴397×5｜A即1985｜A
4.证明：没有x，y存在，使等式x2＋y2＝1995(x，y∈Z)成立.
证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立。
∵x2，y2被４除余数为０或１.
∴x2＋y2被４除余数为０，１或２.
又∵1995被４除余数为３.
∴得出矛盾，假设不成立.
故没有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立.费马小定理：若p是素数，(m，p)＝1则p|mp－1－1
5.试证：999…9能被13整除.
12个
证明：∵10－1＝9,100－1＝99,…‚1012－1＝999…9.
12个
又（10,13）=1
∴13｜(1013－1－1),即13｜(1012－1)
∴13｜999…9.
12个
6.请确定最小的正整数A，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍.解：设该数为A＝，其中a1＝6令x＝则A＝＝x·10＋6于是4A＝＝6×10n－1＋x即有4×10x＋24＝6×10n－1＋xx＝∵(2，13)＝1，x是整数∴13|(10n－1－4)n＝1，2时，10n－1－4＜10显然不满足条件n＝3时，10n－1－4＝96不满足条件n＝4时，10n－1－4＝996不满足条件
n＝5时，10n－1－4＝9996不满足条件n＝6时，10n－1－4＝99996满足条件
∴x＝＝15384即A＝153846
7.一个正整数，如果用７进制表示为，如果用５进制表示为，请用10进制表示这个数.解：由题意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则
n＝＝a×72＋b×7＋c,n==c×52＋b×5＋a
∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a
48a＋2b－24c＝0
b＝12(c－2a)
∴12｜b,
又∵0≤b≤4
∴b＝0,
∴c＝2a
∴当a＝1,c＝2时，n＝51
当a＝2,c＝4时，n＝102
练习：
1.证明：设N＝19881988－19861986，则1987∣N
2.设n是自然数，求证n5－n可被30整除.
3.请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原数的2倍.
4.一个正整数，若用9进制表示为，若用7进制表示为，请用10进制表示此数.
5.五位数能被4整除，最末两位组成的数能被6整除，求此五位数.

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