第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION3.doc

§3仿射坐标系

仿射坐标系与度量系数

[仿射坐标]在三维欧氏空间欧几里得空间简称欧氏空间，它的定义见第二十一章，§4.
中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为i，j，k时，则空间中的矢量a可表示为
a＝axi＋ayj＋azk
一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量e1，e2，e3，则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解，令其系数为a1,a2,a3(这里1,2,3不是指数，而是上标)则a可表示为
a＝a1e1＋a2e2＋a3e3
或简计作这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次，就表示它取一切可能的值；如果
每个指标在乘积中出现两次，就表示取一切可能的值，而后再把各项相加，求其总和.这种规定称
为爱因斯坦约定.
a＝aiei
a＝a1,a2,a3＝{ai}这是张量写法.

这种坐标系e1,e2,e3称为仿射坐标系，e1,e2,e3称为坐标矢量，a1,a2,a3称为矢量a的仿射坐标.
[欧氏空间中度量系数]当矢量a写成上面的形式时，则它的长度a由
(a)2＝(aiei)(ajej)＝(eiej)aiaj
给出.令
eiej＝gij(＝gji)(i，j＝1,2,3)
则称gij为仿射坐标系的度量系数.
1矢量a的长度由
(a)2＝gijaiaj
计算.
2两个矢量
a＝aiei，b＝bjej
的夹角由
cos＝
计算.
3因为gijaiaj是正定二次型，所以由gij所作的行列式

混合积
(e１,e２,e３)2==g
(e１,e２,e３)=
[克罗内克尔符号]对称矩阵

的逆矩阵用

来表示.由逆矩阵的性质，有gij=gji和
gikgkj=
式中
=
称为克罗内克尔符号.
[互易矢量]利用这个gij规定
ei=gijej
因而有
ej=gijei
eiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk=
eiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gil=gij
对e１,e２,e３，可以得到
e1=(e2×e3),
e2=(e3×e1),e3=(e1×e2)
e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量.gij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.

逆变矢量与协变矢量

[逆变矢量与协变矢量]如果矢量a在坐标系e１,e２,e３中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式
a＝a1e1＋a2e2＋a3e3=aiei
给出，则a1,a2,a3称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标)，而矢量ai称为逆变矢量(或称为抗变矢量).
如果关于坐标矢量e１,e２,e３的互易矢量为e1,e2,e3，矢量a在坐标系e1,e2,e3中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式
a＝a1e1＋a2e2＋a3e3=ajej
给出，则a1,a2,a3称为矢量a的协变坐标，而矢量aj称为协变矢量.
在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系
ai=a·ei=(ajej)·ei=aj(ej·ei)=ajgji
[逆变矢量与协变矢量的标量积]
如果a,b为两个矢量，a1,a2,a3;b1,b2,b3分别为它们的逆变坐标，则
a·b=gijaibj
如果a,b为两个矢量，a1,a2,a3;b1,b2,b3分别为它们的协变坐标，则
a·b=gijaiaj
如果a的逆变坐标为a1,a2,a3,b的协变坐标为b1,b2,b3,则
a·b=aibi

n维空间

[n维空间的定义]如果空间中的点与n个独立实数x1，···，xn的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间n维实数空间另一定义见第二十一章，§3.
(简称n维空间)，记作Rn.所以空间中一点M对应于一组有序数x１，···，xn；反之，一组有序数x１，···，xn对应于一点M.这样的一组有序数(x１，···，xn)称为n维空间Rn中一点M的坐标.
[n维空间中的矢量]在n维空间Rn中取一定点O，坐标为(0,0,···,0)，另外一点M(x1，x2，···，xn)，r为对应于两点O和M的矢量，称为点M的矢径.
假定在Rn中可以引进仿射坐标系，使得矢径r与点M(xi)的坐标的关系是
r＝x1e1＋···＋xnen＝xiei
式中e1，···，en是Rn中n个线性无关的矢量，这种坐标系e1,···,en称为Rn中的仿射坐标系，x1，···，xn称为Rn中矢量r的仿射坐标.
在三维空间中所讨论的许多结果，在n维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从1到n就行了.
[逆变矢量与协变矢量]在n维空间Rn中考虑一个任意坐标变换
这里用表示同一点M（xi）在另一个坐标系中的坐标，就是说和表示同一点.用同一
个核文字(如x)表示同一个对象