高中全程复习方略配套课件：7.6空间向量及其运算.ppt

第六节空间向量及其运算三年10考高考指数:★★★
1.了解空间向量的概念.
2.掌握空间向量的线性运算.
3.掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1.在客观题中考查向量的概念及其运算性质.
2.利用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、线共面、平行、垂直等.
3.数量积的运算及应用是考查热点.1.空间向量的有关概念名称名称名称【即时应用】
(1)思考:若a与b确定平面为α,则用a、b表示的c与α的关系是怎样的?
提示：可能与α平行,也可能在α内.(2)下列命题中，真命题的序号是__________.
①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两
个向量是不共面向量
②若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反
③若向量满足且同向,则
④若两个非零向量满足则【解析】①错.因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任
两向量均共面.
②错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等,与方向无关.
③错.空间任两向量不研究大小关系,因此也就没有
这种写法.
④对.
∴共线,故正确.
答案：④2.空间向量的加、减、数乘运算
空间向量的加、减、数乘运
算是平面向量运算的推广．
如图，设a,b是空间任意
两向量，若
P∈OC，
(1)加法：
(2)减法：(3)数乘：(λ∈R).
(4)空间向量加法、数乘运算满足的运算律
①交换律：a+b=____，
②结合律：(a+b)+c=_______，
λ(μa)=_______(λ∈R,μ∈R)，
③分配律：λ(a+b)=________(λ∈R).【即时应用】
(1)思考:当|a|=|b|≠0,且a,b不共线时,a+b与a-b是否共面?
提示：由加法法则可知a+b与a-b可以是菱形的对角线,故满足题意的a+b与a-b一定共面.
(2)判断下列命题的正误(请在括号内填“√”或“×”)．
①空间任意五边形ABCDE，则()
②若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行()
③空间任意两非零向量a、b共面()
④空间向量a平行于平面α，则a所在直线平行于平面α()【解析】由向量加法知(1)正确；当a∥b时，a与b所在直线平行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3)是正确的；a所在的直线可能在平面α内，故(4)是错误的．
答案：①√②×③√④×(3)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若
则λ的值等
于__________.
【解析】

答案：3.共线向量定理与共面向量定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得
_______.
(2)共面向量定理
如果两个向量a，b________，那么向量p与向量a，b共面的
充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________.【即时应用】
(1)思考:向量∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？
提示：不是.向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面α或在平面α内两种情况.因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内.(2)思考:已知a,b，p是平面α内的向量，则p=xa+yb的表示形式唯一吗？
提示：若a,b不共线，则表示形式唯一；若a,b共线，与p不共线，则不存在这种表示形式；若a,b(a,b都是非零向量),p共线，则这种表示形式不唯一.(3)a=λb(λ∈R)是a与b共线的条件_________.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
【解析】若a=λb,则a与b一定共线,反之,若a与b共线,其中b=0,a≠0,则a=λb不成立.
故“a=λb(λ∈R)”是“a与b共线”的充分不必要条件.
答案：充分不必要(4)若则下列结论中正确的序号是_________.
①O,P,A,B四点一定共线
②P,A,B共线
③P,A,B不共线
④O,P,A,B不共面【解析】如图所示,
∵
∴
∴
∴A,B,P三点共线.
答案：②4.空间向量的数量积
(1)定义：a·b=________________.
(2)运算律
①交换律：a·b=_____；
②分配律：a·(b+c)=__________；
③λ(a·b)=_________(λ∈R).(3)常用结论
①|a|=_____；
②a⊥b⇒_______；
③cos〈a,b〉=____(a≠0,b≠0).【即时应用】
(1)思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于向量a,b，若a·b=0，则一定有a=0或b=0吗？
提示：不一定，因为当a≠0且b≠0时，若a⊥b，也有a·b=0．
(2)思考:(a·b)c=a(b·c)成立吗？
提示：不一定成立.∵(a·b)c表示一个与c共线的向量，