2011年全国初中数学竞赛预选赛试题.doc

2011年全国初中数学竞赛
预选赛试题
(2011年2月26日上午9:30一11:30)
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．如果分式的值为零，则x等于（）
A.2B.-2C.－2或2D.2或3
2.已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2－（b2＋c2－a2）2的值为（）
A.恒为正B.恒为负C.可正可负D.非负
3.如图，直线l1、l2、l3表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A.一处B.两处C.三处D.四处
4.某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图（如图1，图2)，该校七、八、九三个年级共有学生800人．甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高.”乙说：“八年级共有学生264人.”丙说：“九年级的体育达标率最高.”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是（）

A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.甲和乙及丙
5.若方程组有解，且2<k<4，则x-y的取值范围为（）
A.0＜x-y＜B.0＜x－y＜1C.-3＜x-y＜1D.-1＜x-y＜1
6.如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD=13㎝,cosB=,则AC的长等于（）
A.5cmB.6cmC.10cmD.12cm

二、填空题（每小题4分，共24分）
7.已知x2＋y2十z2－2x＋4y－6z＋14=0，则x＋y＋z=_____.
8.已知m，n是有理数，且（＋2）m＋(3-2）n＋7=0，则m=___,n=____.
9.如图，在△ABC中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO、CO的交点，则∠BOC与∠A的关系是——————.

10.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C’、D’的位置上，EC’交AD于点G.已知∠EFA=58°，那么∠BEG=度.
11.如图，直线y=kx-2(k>0）与双曲线y=在第一象限内的交点为R，与x轴、y轴的交点分别为R、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于.
12.如图，BD：DC=5:3,E为AD的中点，延长BE交AC于F，则BE：EF=__
三、解答题（7个小题，共72分）
13.(8分）解方程：-=-

14.(8分）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠MDN,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明。

15.(8分）已知方程x2－kx－7=0与x2－6x－（k＋1）=0有公共根．求k的值及两方程的所有公共根和所有相异根．

16.(10分）如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1）求证：EF∥BC;
(2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．

17.(12分）如图，给定锐角三角形ABC,BC<CA,AD、BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．

18.(13分）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品需用原料9千克、乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10厂千克，可获利1200元．
(1）按要求安排A、B两种产品的件数，有哪几种方案？请你设计出来；
(2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y（元），其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明你所设计的方案中，哪种生产方案获得的总利润最大？最大利润是多少？

19.(13分）如图，对称轴为直线x=的抛物线过点A(6,0)和B(0,4).
(1）求抛物线解析式及顶点坐标；
(2）设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求口OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当口OEAF的面积为24时，请判断口OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使口OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

说明:本题为湖北省襄阳市预选赛试题