一微积分产生的历史背景 (2).ppt

第5讲微积分的诞生
——人类精神的最高胜利微积分产生的历史背景过程与方法微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具.微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念.这两个方面由于笛卡儿和费马等人的工作，其基础已基本具备.到了17世纪，由于解析几何的创立，使自然科学研究的中心转向自然界的运动和变化，古典算术或几何、代数方法，甚至解析几何，对自然界的运动和变化都无能为力了，这就激起不少数学家致力寻找解决这些问题的新方法.那么，促使微积分产生的科学问题都有什么呢?瞬时速度问题如果物体的运动是匀速的，那么计算它的瞬时速度就是用运动时间去除运动距离.已知物体的速度公式求运动的距离也会遇到同样的问题.求变速运动物体的瞬时速度或运动距离可以说是微分或积分概念最基本的现实原型之一.切线问题17世纪，光学成为非常重要的研究领域，要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射与折射定律，而重要的角是光线与镜面曲面法线（过曲线的切点与切线垂直的直线）的夹角，法线是垂直于切线的，所以问题在于求法线或切线.另一个涉及曲线的切线的科学问题出现在运动的研究中，运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向.函数的最值问题17世纪初，意大利科学家伽利略（GalileoGalilei，1564——1642）认识到炮弹弹道的抛物线性质，并断言，在不考虑空气阻力的情况下，当发射角为45°时炮弹的射程最大.此外，他还得到了发射角变化时炮弹所能达到的最大高度.面积、体积、曲线长、重心和引力的计算如德国天文学家开普勒给出的行星运动三大定律和其他许多天文问题都涉及到行星运动的轨道、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等计算.古希腊人曾用穷竭法计算出一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须加上很多技巧，所以这个方法缺乏一般性.这些长度、面积和体积计算问题就成为积分学的基本来源.在微积分诞生之前，有众多数学家为解决上述问题做出了不懈努力.意大利数学家卡瓦列利系统地运用无穷小方法计算面积和体积.他假定：线是由无穷多个点组成，面是由无穷多条线组成，体是由无穷多个面组成.卡瓦列利利用几何方法巧妙地求得若干曲边图形的面积，还证明了旋转体的表面积和体积公式.法国的笛卡儿的求切线方程的“圆法”、费马、帕斯卡的求极大、极小值的方法以及英国的巴罗的“微分三角形”和沃利斯的“无穷算术”为解决上述问题都作出了独特的贡献.虽然众多数学家的研究工作为微积分的诞生做了积极的准备，但他们的方法粗糙且缺乏一般性.当时还无人认识到求面（体）积、求极值、求瞬时速度和求切线四者之间的内在联系，更未能意识到微分与积分之间的互逆关系.历史的发展需要伟人的推动，在时代的召唤下，牛顿与莱布尼茨脱颖而出，担负起这项伟大的任务.促使微积分产生的科学问题:微积分诞生前，众多科学家所做的贡献: