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新东方在线[www.koolearn.com]2012考研数学网络课堂电子教材系列高等数学

2012考研基础班高等数学讲义

主讲：汪诚义

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第四章常微分方程
§4.1基本概念和一阶微分方程
(甲)内容要点
一、基本概念
1．常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程．若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程．我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程．
2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶．
3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解．
4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解．
5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线称为该方程的积分曲线族．
6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程．
不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为齐次线性方程；自由项不为零的方程为非齐次线性方程．
二、变量可分离方程及其推广
1．变量可分离的方程
（1）方程形式：
通解
（注：在微分方程求解中，习惯把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：
通解
2.变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程，令，则

（2），令，则

三、一阶线性方程及其推广
1.一阶齐次线性方程
它也是变量可分离方程，通解公式，（为任意常数）
2.一阶非齐次线性方程
用常数变昜法可求出通解公式.
令代入方程求出，则得

3.伯努利方程
令，把原方程化为
再按照一阶非齐次线性方程求解.
4.方程：（可化为以y为自变量，x为未知函数再按照一阶非齐次线性方程求解）.
四、全微分方程及其推广（数学一）（略）
五、差分方程（数学三）（略）
（乙）典型例题
一、变量可分离方程及其推广
【例1】求下列微分方程的通解
（1）
解（1）

【例2】求下列微分方程的通解
（1）
解（1）令，则，原方程化为

（注：∵）
【例3】求微分方程的通解.
解令，原方程化为

化简为
再令，则方程化为

化简为

二、一阶线性方程及其推广
【例1】求下列微分方程的通解.
（1）（2）
解（1）直接用常数变量法.
对应的齐次线性方程为，通解
令非齐次线性方程时，通解为
代入方程得，
故所述方程的通解为
＝
（2）此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程
即
是一阶线性方程，

【例2】设是的一个解，求此微分方程满足特解.
解将代入微分方程求出，方程化为

先求出对应齐次线性方程的通解
则非齐次线性方程的通解为
再由，得
故所求解

【例3】设，其中在内满足以下条件，，且，
求所满足的一阶微分方程
求出的表达式
解（1）由

可知所满足的一阶微分方程为

（2）

将代入，可知
于是

【例4】求下列微分方程的通解
（1）
（2）
解（1）用除方程的两边，得

令，则得一阶线性方程

用代入，得
（2）所给方程既属于齐次方程又属于伯努利方程故两种方法以便对照
解一
令，则得

，故

解二，令，得
，通解

§4.2特殊的高阶微分方程
内容要点
可降阶的高阶微分方程
方程类型解法及解的表达式通解令，则，原方程
——一阶方程，设其解为，
即，则原方程的通解为。令，把看作的函数，则
把的表达式代入原方程，
得——一阶方程，
设其解为，即，则原方程的通解为
线性微分方程的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程
二阶非齐次线性方程
1.若为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（任意常数）仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与的线性无关时，则方程的通解为

2．若，为二阶非齐次线性方程的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3.若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4.若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（为独立的任意常数），则
是此二阶非齐次线性方程的通解。
5.设与分别是与的特解，则是的特解。
三、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1.二阶常系数齐次