数值分析非线性方程的数值解法.ppt

第二章非线性方程的数值解法简介（Introduction）§2.1对分区间法(BisectionMethod)误差分析：例1用二分法求
在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过
解：
f(1)=-5<0有根区间中点
f(2)=14>0-(1,2)+

f(1.25)<0(1.25,1.5)
f(1.375)>0(1.25,1.375)
f(1.313)<0(1.313,1.375)
f(1.344)<0(1.344,1.375)
f(1.360)<0(1.360,1.375)
f(1.368)>0(1.360,1.368)12Remark1：求奇数个根Remark2:要区别根与奇异点Remark3:二分发不能用来求重根f(x)=0(1)如果将原方程化为等价方程(2)如果将原方程化为等价方程收敛性分析考虑方程x=g(x),g(x)C[a,b],若
(I)当x[a,b]时，g(x)[a,b]
(II)在［a,b］上成立不等式：|g(x1)-g(x2)|≤|x1-x2|（1）则
（1）g在［a,b］上存在惟一不动点x*
（2）任取x0[a,b]，由xk+1=g(xk)得到的序列{xk}（［a,b】）收敛于x*。
（3）k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有有误差估计式：

（2）

（3）

§3Fixed-PointIteration§3Fixed-PointIterationRemark：例题在这里我们考查在区间[3.5,4]的迭代法的收敛性局部收敛性定理举例例题将方程化为等价方程：x＝2＋lnx73.146143611
83.146177452
93.146188209
103.146191628
113.146192714
123.146193060
133.146193169
143.146193204另一种迭代格式：程序演示定理2.2.3Prove:(3)由于g在x*处p阶连续可微且g(p)(x*)≠0，知必存在x*的某邻域Ｕ(x*)，当x∈U(x*)时，有g(p)(x)≠0.
由于x*+(xk-x*)∈［x*-，x*+］U(x*)，故
g(p)(x*+(xk-x*))≠0，k=0，1,2,….
可见，当初值x0≠x*时，由(11)式可推出诸xk≠x*
于是由(11)式有

NewtonIterativeMethod取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:牛顿法的几何意义（局部收敛性定理）设f(x)C2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根,且f(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初始值，Newton法产生的序列{xk}收敛到x*，且满足在x*的附近收敛思考题1Answer2:线性收敛结论：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。有根将f(x*)在xk处作Taylor展开三、计算实例及其程序演示例题1例题2初值x0＝8.0时,计算的是单根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481
初值x0＝1.0,计算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutionis1.198631981迭代过程的收敛速度迭代过程的收敛速度迭代过程的加速埃特金算法埃特金算法开方公式开方公式牛顿下山法弦截法弦截法弦截法小结解非线性方程组的牛顿法其中F(xk)为F(x)在xk处的Jacobi矩阵：例：用牛顿法解方程组取初始值（1，1，1），计算如下练习：首先导出求根方程，再对使用牛顿法

得迭代公式,用全局收敛性定理或局部收

敛性定理讨论其收敛性。
Newton迭代法的收敛性简单迭代法下山迭代法弦截法弦截法弦截法的几何表示弦截法收敛性定理用弦截法给出埃特金算法的几何解释二、抛物线法抛物线法计算公式