非线性方程的数值解法.ppt

非线性方程的数值解法记笔记记笔记2.1迭代法例4用迭代法求方程
在x=1.5附近的一个根
解将方程改写成如下两种等价形式2.1迭代法如果由迭代格式产生的序列收敛,即迭代公式收敛（发散）指迭代序列{xk}收敛（发散）。}2.3.3迭代法收敛的条件
对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式,但迭代公式

并非总是收敛。那么,当迭代函数满足什么条件时，相应的迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时，我们也不可能迭代很多次，而是迭代有限次后就停止，这就需要估计迭代值的误差，以便适时终止迭代定理2.1设函数在[a,b]上具有连续的一阶导
数,且满足
（1）对所有的x∈[a,b]有∈[a,b]
（2）存在0<L<1,使所有的x∈[a,b]有
≤L
则方程在[a,b]上的解存在且唯一
，对任意的∈[a,b]，迭代过程
均收敛于。并有误差估计式例迭代结果:2.3.4迭代法的算法框图例5对方程,构造收敛的迭代格式,
求其最小正根,计算过程保留4位小数。
解容易判断[1,2]是方程的有根区间,且在此区间
内,所以此方程在区间[1,2]有
且仅有一根。将原方程改写成以下两种等价形式。2.3.5局部收敛性
当迭代函数较复杂时,通常只能设法使迭代过程在根的邻域(局部)收敛。
定理2.2设在的根的邻域中有连续的一阶导数,且则迭代过程
具有局部收敛性。
证:由于,存在充分小邻域△:,使成立这里L为某个定数,根据微分中值定理由于,又当
时,故有
由定理2.1知对于任意的都收敛例2.6设,要使迭代过程
局部收敛到,求的取值范围。
解：

由在根邻域具有局部收敛性时,收敛
条件2.3.6迭代法的收敛速度
一种迭代法具有实用价值，首先要求它是收敛的，其次还要求它收敛得比较快。
定义2.2设迭代过程收敛于的根,记迭代误差
若存在常数p（p≥1）和c（c>0），使定理2.3设迭代过程,若在所求根
的邻域连续且

则迭代过程在邻域是p阶收敛的。
证:由于即在邻域,所以
有局部收敛性,将在处泰勒展开例2.8已知迭代公式收敛于
证明该迭代公式平方收敛。
证:迭代公式相应的迭代函数为

用迭代法可逐步精确方程根的近似值，但必须要找到的等价方程,如果选得不合适,不仅影响收敛速度,而且有可能造成迭代格式发散。能否找到一种迭代方法,既结构简单,收敛速度快,又不存在发散的问题。这就是本节要介绍的牛顿迭代法
2.4.1牛顿迭代法的基本思想
牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法,它的基本思想是将非线性函数f(x)逐步线性化,从而将非线性方程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。对于方程,设其近似根为,函数f(x)可在
附近作泰勒展开2.4.3牛顿迭代法的收敛性2.4.4牛顿迭代法的算法实现例2.11用牛顿迭代法求x=e-x的根,ε=10-4
解：因f(xk)=xex–1,f´(xk)=ex(x+1)
建立迭代公式2.5弦截法
牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算导数,当比较复杂时,不仅每次计算带来很多不便，而且还可能十分麻烦，如果用不计算导数的迭代方法，往往只有线性收敛的速度。本节介绍的弦截法便是一种不必进行导数运算的求根方法。弦截法在迭代过程中不仅用到前一步处的函数值，而且还使用处的函数值来构造迭代函数，这样做能提高迭代的收敛速度。2.5.1弦截法的基本思想
为避免计算函数的导数，使用差商

替代牛顿公式中的导数,便得到迭代公式

称为弦截迭代公式，
相应的迭代法称为弦截法。可以证明，弦截法具有超线性收敛，收敛的阶约为1.618，它与前面介绍的一般迭代法一样都是线性化方法，但也有区别。即一般迭代法在计算时只用到前一步的值，故称之为单点迭代法；而弦截法在求时要用到前两步的结果和，使用这种方法必须给出两个初始近似根，这种方法称为多点迭代法。例2.12用弦截法求方程在初始
值邻近的一个根。要求
解：取,,令
利用弦截迭代公式

计算结果见P34列表，
易见取近似根
则可满足精度要求。