斯托克斯定律.ppt

斯托克斯定律在自然界中，经常可以发现随速度而变化的阻力，半径为r的任意小球，如雨点，油滴，或刚球，以低速度v通过粘滞流体（液体或气体）时，受到阻力R的作用，f=-6лηrvη为粘滞度，这个关系式称为斯托克斯定律（Stokeslaw).令
k=6лηr
我们可以把斯托克斯定律简单的写为
f=-kv假设小球由静止开始下落，并设y的正方向向下，在这些条件下，得∑Fy=G-B-kv=ma
最初，v=0时，阻力为0，初加速度a0为正：
a0=(G-B）/m
小球向下加速，稍候，当v足够大时，阻力就等于G-B，因此作用在小球上的合力为零，此时加速度也为零，速度不再增加，此速度为小球的最大速度或收尾速度vT,可由a=0算出，
G-B-kv=0
即
vT=(G-B)/k
加速度、速度及位移随时间变化的关系，如图2所示。为了求得到小球在到达收尾速度以前，其速度与时间的关系式，我们追溯到牛顿第二定律
m(dv/dt)=G-B-kv
整理各项并用vT代替(G-B)/k，得
dv/(v-vT)=-kdt/m
当t=0时，v=0,则
∫0vdv/(v-vT)=-k/m∫0tdt
由此
ln((vT-v)/vT)=-kt/m即
1-v/vT=e-(k/m)t
最后
v=vT(1-e–(k/m)t)
与指数变化量有关的一个重要概念是弛豫时间tR，其含义由图2（b）可知，假定加速度保持初始a0不变,弛豫时间可以定义为以匀加速度a0到达收尾速度所需要的时间，显然
tR=vT/a0=((G-B)/k)/((G-B)/m)=m/k
现在方程可以简单的写成
v=vT(1-e–t/tR)
当t等于弛豫时间时,t/tR=1。则
v=vT(1-e–1)=0.63vT
可见在下落时间等于弛豫时间时，实际速度大约为收尾速度的63%。