第4章 热传导热问题的数值解法.ppt

热传导问题
的数值解法▲数值求解的基本思想及常用的数值求解方法
▲有限差分法
▲节点离散方程的建立
——泰勒级数展开法与热平衡法。
▲节点离散方程(组)的求解
1、直接求解;
2、简接求解——高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法*
▲非稳态导热问题数值求解的有关概念4.1.1数值求解的基本思想(见P162)：常用的数值求解方法4、解方程,并用节点的解的集合(离散值)来
代替原物体内的连续温度分布基本概念：
单元体(控制容积)、网格线、节点、
界面线、步长4.1.2用有限差分法求解导热问题的基本步骤4.2内节点离散方程的建立方法4.2.1泰勒级数展开法
将函数t的一阶导数及二阶导数在点(m,n)按泰勒
级数展开，并取其一阶近似，结果代入相应的导热微
分方程，即可得出该节点的离散方程。(详略)4.2.2热平衡法*0(2)将式(f)、(g)、(h)、(i)、(j)代入能量方程式(e)，得：结论：所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。但这里不包括热流(或热流密度)前的系数。
这一结论也适用于边界节点。4.3.1边界节点离散方程的建立----用热平衡法将各量代入能量守恒方程，并经化简，即可得节点“0”的离散方程.2、外部角点：边界热流密度qw的几种情况：4.3.2处理不规则区域的阶梯型逼近法4.3.3代数方程的求解方法---迭代法1.高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法1.迭代原则：
先估计（或假定）变量的初始值，在以后依次求解
过程中，不断采用最新的当前值来更新变量的估计值。例：三元一次方程组的求解其中，ε’=10-3～10-6t1=(29-2t2-t3)/8
t2=(32-t1-2t3)/5(2)
t3=(28-2t1-t2)/4迭代结果例4-2：如图所示方形物体网格，用Gauss-Seidel迭
代法求网格节点1、2、3、4的温度。（2）迭代结果对于常物性导热问题所组成的差分方程组，
迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是
大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和
——主对角线占优迭代结果发散作业：
P186，题3(要求ε≤0.1℃）
P188，题4-9（节点2、9,有内热源）
方程应化成最简形式
题4-10（按肋端对流边界条件求解)
(要求:写出节点离散方程的推导
过程,及最后的迭代方程;
且ε≤0.1℃）4-3非稳态导热问题的数值解一、非稳态项离散的三种差分格式
——向前差分、向后差分与中心差分1、向前差分：(1)显式差分格式——扩散项用i时层的值表示：(2)隐式差分格式——扩散项用i+1时层的值表示：三、步长△x、△τ对显式格式稳定性的影响
——稳定性限制条件第四章小结
1、导热问题数值求解的基本思想
—数值计算是解决较复杂的导热问题的有效途径
2、常用的数值求解方法：有限单元法和有限差分法*
—离散(分割)、取节点、列节点离散方程、解方程
3、建立节点离散方程的两种方法:
——泰勒级数展开法与热平衡法。
节点离散方程的建立是导热问题数值求解的重
要环节(要求能根据不同情况，用热平衡法自行推导
稳态导热问题的节点有限差分方程)。6、非稳态导热问题有限差分方程的稳定性条件的物
理含义。作业：P191，题4-23(1)（要求ε≤0.02℃）
(建议步长：△x=△y=0.25m)节点网格节点网格题4-3：迭代方程为或：题4-9：题4-10：迭代方程:
节点网格