历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲.doc

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学分类整理
高三第一轮复习学案---立体几何北大附中广州实验学校王生
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历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲
1.(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。
（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

2.（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

A
B
C
D
O
O1
A
B
O
C
O1
D
3.（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。
（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。

4.（2007安徽文、理)如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。
(Ⅰ)求证:与AC共面，与BD共面.
(Ⅱ)求证:平面
(Ⅲ)求二面角的大小.

5.(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

6.(2007四川理）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

A
B
M
N
C
l2
l1
H
7.(2006全国Ⅰ卷文、理)如图，、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在上，C在上，。（Ⅰ）证明AC⊥NB；
(Ⅱ)若，求与平面ABC所成角的余弦值。

8.（2006福建文、理）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。

历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲(参考答案)
1．解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．连结，．
在平面中，延长交于．设，
由已知，由
A
B
C
D
P

x
y
z
H
可得．解得，所以．
（Ⅰ）因为，
所以．即与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为，
所以．
可得与平面所成的角为．

2．解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,
(1)设与所成的角为,

,
与所成角的大小为
(2)
设平面OCD的法向量为,则
即取,解得
设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
,.
所以点B到平面OCD的距离为

3．解:（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1，）,O1（0，0，）.
从而，
所以AC⊥BO1.
（II）解：因为所以BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.
设是0平面O1AC的一个法向量，
由得.
设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，
所以cos，>=

4.解（向量法）：以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
（Ⅰ）证明：

于是与AC共面，与BD共面.
（Ⅱ）证明：

内的两条相交直线，
又平面

（Ⅲ）解：
设

于是
设

于是

5．证明：（Ⅰ）由题设，连结，

为等腰直角三角形，所以，且，
又为等腰三角形，故，且，
从而．所以为直角三角形，．
又．
所以平面．
（Ⅱ）解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．