NP完全问题.ppt

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9/8/2024第7章NP完全问题序1971年S.Cook发表了“TheComplexityofTheoremProvingProcedures”这篇著名论文，1972年R.Karp发表了“ReducibiltyAmongCombinatorialProb1ems”，从此奠定了NP完全理论的基础。NP完全理论指出在NP类中有一些问题具有以下性质：若其中一个问题获得多项式算法，则这一类问题就全部获得了多项式算法；反之，若能证明其中一个问题是多项式时间内不可解的，则这-类问题就全部是多项式时间内不可解的。这类问题将称之为NP完全问题。NP完全理论不打算找出这一类问题的算法，仅仅着眼于证明这一类问题的等价性，即证明它们的难度相当。
NP完全理论还很年轻，有许多问题等待人们研究。例如，“NP＝P”还是相反“P是NP的真子集”。这个问题是当代计算机科学中的一大难题。7.1判定问题、语言和编码判定问题货郎担问题语言编码编码的条件编码的标准当把整数及其它符号都采用二进制编码后，一个问题的判定过程就可以形式地描述如下：
已知L⊆{0，1}*，对于x∈{0，1}*，若x∈L则回答“是”；若x∉L，则回答“非”。
这里，{0，1}*是指由有限个0和1组成的串的集合。
再次重申，我们的讨论仅限于语言的识别。7.2多项式变换与可满足性问题多项式变换引理7-1可满足性问题从数理逻辑看来，设U={u1,u2,…,um}是一个布尔变量集合。关于U的真值赋值是一个函数t：U→{T,F}。如果t(u)=T，我们称u在t下取“真值”；如果t(u)=F，我们称u取“假值”。如果u是U中的一个变量，那么u和￢u是U上的文字。文字u在t下取真值当且仅当变量u在t下取真值；文字￢u取真值当且仅当变量u取假值。
U上的子句是U上的一个文字集合，例如，u1∨￢u2∨u8。它表示这些文字的析取，对于U上的一个真值赋值，这个真值赋值满足它当且仅当它至少有一个元素在这个赋值下取真值。除去t(u1)=F，t(u2)=T和t(u8)=F之外，t满足上面那个子句。U上的子句类C是可满足的当且仅当存在关于U的一个真值赋值同时满足C中所有子句。我们称这样一个真值赋值是满足C的真值赋值。命题逻辑的可满足性问题图的m-可着色问题因此，G的每一种着色方案对应于给mn个变量{Pij}的一种赋值。但是必须满足条件：
(1)每个节点至少有一种颜色，故对任一i，有子句Pi1∨Pi2∨...∨Pim；
(2)相邻的节点着不同颜色，故对图G的任意一对相邻节点(r,s)，必有￢Prj∨￢Psj，1≤j≤m。
于是图G可m-着色的充要条件是可对变量Pij赋值i=1,2,...,n，j=1,2,...,m，使得由(1)和(2)构成的所有子句取值为T。
转换步骤(1)，(2)所需的时间有多项式的界。■哈密顿回路问题（HC）容易（非形式地）看到，能够用一个多项式时间算法计算这个函数f。对于个规定的耗费d(i,j)，只需要检查(i,j)是否是G中的一条边，所以f∈π。
假设(1,2,...,n)是G中的一条哈密顿回路，那么(1,2，...,n)也是f(G)中的一条周游路线，并且这条周游路线的耗费为B=n，这是因为在这条周游路线中经过的城市之间每一段耗费对应G中一条边，从而耗费为1。反之，假设(1,2,...,n)是f(G)中的一条总耗费为不超过B的周游路线。因为任意两个城市之间的耗费不是1就是2，而在计算周游路线的总耗费时恰好是n个这样的耗费相加，所以根据B=n，每一对相继访问的城市间的耗费恰好为1。由的f(G)定义，得到(i,i+1),1≤i＜n和(n,1)都是G的边，从而(1,2,...,n)是G的一条哈密顿回路。■引理7-27.3非确定型图灵机定义指出，非确定型图灵机，对于由一个状态与k个磁带符号所给定的序组，δ确定的下一动作不是唯一确定的，它将要在一个有穷集合A中选择（猜测），它在同一时刻里可以做多种运算。但要注意，一个NDTM机M只能在A中任意选择其下一个动作，然而不能选A以外的动作。
假定(q',(a'1,d'1),(a'2,d'2),...,(a'k,d'k))∈δ(q,a1,a2,...,ak)，并且非确定型图灵机M正处在状态q，且第i个磁头（1≤i≤k）正扫描着第i条磁带上符号ai的某一方格，则机器的下一动作可以进入状态q'，并把ai变为a'i，而各磁头的动作由d'i指定。图灵机的格局非确定型图灵机的作用定义7-8对语言L，按上述方法构成的非确定型图灵机NDTM接受L，当且仅当对w∈L，NDTM可接受w，对w∉L，NDTM陷入不停机状态。非确定型图灵机NDTM接受语言L，记作L(NDTM)。例7-3等分划问题下面设计一台三带NDTM来接受所述的语言。这台