算法分析与设计课件NP完全问题.ppt

学习要点
理解P类与NP类语言的概念
理解NP完全问题的概念
理解近似算法的性能比及多项式时间近似格式的概念P类与NP类问题NP完全问题
NP完全问题是不确定性图灵机在P时间内能解决的问题，是世界七大数学难题之一。
数学上著名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NPCOMPLETE”问题，简单的写法，是NP=P？的问题。问题就在这个问号上，到底是NP等於P，还是NP不等於P。
也就是说，NP问题到底是Polynomial（意思是多项式的），还是Non-Polynomial，尚无定论。NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic（意思是非确定性的），P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministicPolynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。
完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。
人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们於是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在指数时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。
对P类，NP类及NP完全问题的研究推动了计算复杂性理论的发展，产生了许多新概念，提出了许多新方法。但是还有许多难题至今没有解决，P=NP?就是其中之一。许多学者猜想P≠NP，但无法证明。

非确定性图灵机P类与NP类语言NP类语言举例——无向图的团问题。
该问题的输入是一个有n个顶点的无向图G=(V，E)和一个整数k。要求判定图G是否包含一个k顶点的完全子图(团)，即判定是否存在V’V，|V’|=k，且对于所有的u，v∈V’，有(u，v)∈E。
若用邻接矩阵表示图G，用二进制串表示整数k，则团问题的一个实例可以用长度为的二进位串表示。因此，团问题可表示为语言：
CLIQUE={w#v|w，v∈{0，1}*，以w为邻接矩阵的图G有一个k顶点的团，其中v是k的二进制表示。}接受该语言CLIQUE的非确定性算法：用非确定性选择指令选出包含k个顶点的候选顶点子集V，然后确定性地检查该子集是否是团问题的一个解。算法分为3个阶段：多项式时间验证NP完全问题多项式时间变换多项式时间变换一些典型的NP完全问题近似算法的性能顶点覆盖问题的近似算法顶点覆盖问题的近似算法旅行售货员问题近似算法1满足三角不等式的旅行售货员问题(b)表示找到的最小生成树T；(c)表示对T作前序遍历的次序；(d)表示L产生的哈密顿回路H；
(e)是G的一个最小费用旅行售货员回路。2一般的旅行售货员问题集合覆盖问题的近似算法集合覆盖问题举例：集合覆盖问题的近似算法子集和问题的近似算法intexactSubsetSum(S,t)
{
intn=|S|；
L[0]={0}；
for(inti=1；i<=n；i++){
L[i]=mergeLists(L[i-1],L[i-1]+S[i])；
删去L[i]中超过t的元素；
}
returnmax(L[n])；
}2子集和问题的完全多项式时间近似格式2子集和问题的完全多项式时间近似格式