二次函数最值问题.doc

数学导学案主备人：备课组长：2012年8月日班级：姓名：

二次函数在闭区间上的最值
学习目标：会求二次函数在闭区间上各种情况下的最值
教学重、难点：二次函数在闭区间上各种情况下的最值
一、学法指导：认真学习例题，学会二次函数在闭区间上各种情况下的最值的方法
二、知识链接复习：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
学习过程
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定，区间定我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习.已知，求函数的最值。
2、轴定区间变我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数定义在区间上，求的最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，
函数取得最小值。
如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，
函数取得最小值。
如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，
函数取得最小值
，
图1图2图3
例3.已知，当时，求的最大值．
解：由已知可求对称轴为．
（1）当时，．
（2）当，即时，．
根据对称性若即时，．
若即时，．
（3）当即时，．
综上，
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当时

当时

3、轴变区间定这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4.已知，且，求函数的最值。
解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：
二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上
由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。
函数的最小值是，最大值是。

图3
例5.(1)求在区间[-1,2]上的最大值。
(2)求函数在上的最大值。
解：(1)二次函数的对称轴方程为，
当即时，；
当即时，。
综上所述：。
(2)函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知
（2）；由图可知
（3）时；由图可知

；即
4.轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6.已知，求的最小值。
解：将代入u中，得

①，即时，
②，即时，
所以

（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7.已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。
解：
（1）若，不符合题意。
（2）若则
由，得
（3）若时，则
由，得
综上知或
例9.已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。
具体解法为：
（1）令，得
此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；
（2）令，得
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；
（3）若，得
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。
综上，或
解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。
达标检测
1．已知函数求函数f(x)的最大值与最小值．

2．求函数在区间上的最小值．

3．求函数在上的最大值．

4．已知，求y的最小值．

5．已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值．

6．已知函数在