数学模型 运用层次分析法决策考研学校的选择.doc

运用层次分析法决策考研学校的选择

摘要层次分析法，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，能有效处理某些实际问题。
关键词层次分析法
人们在处理一些决策问题时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是有一个共同的特点是它们通常都涉及经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、决策时，这样因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择（当然要根据客观实际）会起着相当主要的作用，这就给用一般是数学方法解决问题带来了本质的困难。
T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（简记AHP），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。[1]
现在有一同学考研，他有在三个学校之间选择：A大学、B大学和C大学，并从地理位置、学术环境、社会影响力、出国机会、校友资源这五个方面考虑。下面将利用层次分析法处理之。
将目标问题分解成3个层次，最上层为目标层，即选择学校，最下层为方案层，有P1，P2，P3，三个选择学校分别代表A大学、B大学、C大学，中间为准则层，有地理位置、学术环境、社会影响、出国机会、校友资源5个准则，各层之间用相连直线表示
目标层
选择学校
学术环境
地理位置
社会影响
出国机会
校友资源
P1
P2
P3
准则层
方案层

现构造第二层（准则层）对第一层（目标层）的成对比较矩阵。
表格SEQ表格\*ARABIC1总目标的判断矩阵
地理位置学术环境社会影响出国机会校友资源地理位置11/31/51/91/7学术环境3111/31/3社会影响5111/51/5出国机会93513校友资源7351/31
A的最大特征根λ=5.274，一致性指标=0.0686，将它的一致性指标CI与同阶的随机一致性指标RI之比称为一致性比率，当一致性比率CR<0.1时说明A的不一致程度在容许范围之中，用其特征向量作为权向量，因此CR=0.0612<0.1，将算出λ=5.274的特征向量，归一化后得w=(0.0349，0.1072，0.1013，0.4691，0.2875)T
用同样的方法得到第三层（方案层）对第二层（准则层）中每个准则的成对比较矩阵。
表格2方案层对准则层的判断矩阵
地理位置P1P2P3P1135P21/313P31/51/31
社会影响P1P2P3P1156P21/513P31/61/31
学术环境P1P2P3P1187P21/812P31/71/21
出国机会P1P2P3P1134P21/312P31/41/21
校友资源P1P2P3P11/778P21/712P31/81/21

将结果列入下表
k12345wk(3)0.63700.61440.77660.78550.76520.25830.26840.15300.12930.14670.10470.11720.07040.08520.0882λk3.03853.07353.10443.07643.0717CIk0.01930.03680.05220.03820.0359CRk0.03320.06340.09000.06590.0267
不能看出，由于n=3的随机一致性指标RI=0.58，所以上面的CRk均可通过一致性检验。
下面计算各方案对目标的权向量，即组合权向量w(3)
方案P1在目标中的组合权重为它们对应项的两两乘积之和：
0.6370×0.0349+0.6144×0.1072+0.7766×0.1013+0.7855×0.4691+0.7652×0.2875=0.7552
方案P2在目标中的组合权重
0.2583×0.0349+0.2684×0.1072+0.1530×0.1013+0.1293×0.4691+0.1467×0.2875=0.1556
方案P3在目标中的组合权重
0.1047×0.0349+0.1172×0.1072+0.0704×0.1013+0.0852×0.4691+0.0882×0.2875=0.0887
于是组合权重w(3)=(0.7552，0.1556，0.0887)。结果表明方案P1的权重远远大于P1，P2，应作为选择学校。
[参考文献]
[1]姜启源，谢金星.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.249—250.