全国初中数学竞赛试题.docx

一、选择题
1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．
（A）2ca（B）2a2b（C）a（D）a
2．如果，那么的值为（）．
（A）（B）（C）2（D）
3．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．
（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）
4．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．
（A）10（B）9（C）7（D）5
5．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．
（A）1（B）（C）（D）
6．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD=3，BD=5，则CD的长为（）．
（A）（B）4
（C）（D）
7．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．
（A）1（B）2（C）3（D）4
8．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．
（A）5（B）6（C）7（D）8
9．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．
（A）（B）（C）（D）
10．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．
（A）2012（B）101（C）100（D）99
11．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.
12．如图，正方形ABCD的边长为2，
E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB
分别交于点M，N，则△DMN的面积是.
13．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的两个实数根分别为，，那么的值为．
14．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为.
16．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．
17．如图，⊙O的直径为，⊙O过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．
18．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数.当a≥2012时，求a的最小值.
19．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.
2012年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1。C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
，且，
所以．
2．B
解：．
3．D
解：由题设知，，，所以.
解方程组得
所以另一个交点的坐标为（3，2）.
注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
4．B
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.
因为均为整数，所以有

解得

以上共计9对.
5．D
解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为
，
中位数为，
于是.
6．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.
由于AC=BC，CD=CE，
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，
所以△BCD≌△ACE，BD=AE.

又因为，所以.
在Rt△中，
于是DE=，所以CD=DE=4.
7．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得

消去x得(2y－7)n=y+4，
2n=.
因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
8．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即.由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有.于是共有7组符合题意．
9．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2