中考数学压轴题精选一.docx

★★1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2xm23m2
与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）
当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。
x
y
O
1
1

O
A
B
C
D
E
P
y
x
图1
解：（1）∵拋物线y=x2xm23m2经过原点，∴m23m2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m1，∴m=2，
∴拋物线的解析式为y=x2x，
∵点B(2，n)在拋物线y=x2x上，
∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（3a，2a），由C点在拋物线上，得2a=(3a)23a，即a2a=0，解得a1=，a2=0（舍去），∴OP=。
依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2xb，由点A(10，0)，
点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y=x5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。
如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，∴t4t2t=10，∴t=。
第二种情况：PC与MN在同一条直线上。
如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=102t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t2t2t=10，∴t=2。
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，
如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t2t=10，
图4
y
x
B
O
Q(P)
N
C
D
M
E
F
∴t=。综上，符合题意的t值分别为，2，。
x
y
O
A
M
(C)
B
(E)
D
P
Q
F
N
图3
E
x
O
A
B
C
y
P
M
Q
N
F
D
图2

★★2、（2010北京）问题：已知△ABC中，BAC=2ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
(1)当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为；可得到DBC与ABC度数的比值为；
(2)当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
A
C
B

解：(1)相等；15；1：3。
(2)猜想：DBC与ABC度数的比值与(1)中结论相同。
证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BK//AC交CK于点K，
连结DK。∵BAC90，∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，∵DC=DA，∴DCA=DAC，∵KCA=BAC，
B
A
C
D
K
1
2
3
4
5
6
图2
∴KCD=3，∴△KCD△BAD，∴2=4，KD=BD，
∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ACB=6，
∵KCA=2ACB，∴5=ACB，∴5=6，∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，∴KBD=60，∵ACB=6=601，
∴BAC=2ACB=12021，
∵1(601)(12021)2=180，∴2=21，
∴DBC与ABC度数的比值为1：3。
★★3、（2010郴州）如图（1），抛物线与y轴交