历届全国初中数学联赛真题及答案.doc

1991年全国初中数学联赛试题
一、选择题
本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是
（A）3；（B）；（C）2；（D）．
答（）
如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是
10；（B）12；
（C）16；（D）18．
答（）
方程的解是
（A）；（B）；
（C）或；（D）．
答（）
已知：（n是自然数）．那么，的值是
（Ａ）；（Ｂ）；
（Ｃ）；（Ｄ）．
答（）
若，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；
（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；
（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；
（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（）
若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么
的最大值是
（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１．
答（）

=1

如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是
（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2；（Ｄ）3．
答（）

在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，则
（Ａ）<c<2；（Ｂ）0<c≤；
答（）
（C）c>2；（D）c=2．
答（）
二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．
２．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，．

3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x>０，恒成立，则
．
４．四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD，AB，BC，
CD=6，则AD=．

第二试
x+y，x－y，xy，
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且
BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF＋CF

三、将正方形ABCD分割为个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足的非负整数的个数是
(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.
2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是
(A)>(B)=(C)>;(D)不确定.
3.若,则的个位数字是
(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.
答()
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为
(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.
答()
5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是
(A)(B)
(C)(D)不确定 答()
6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是
(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.
答()

7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.
则AE:EB等于
(A)1:2(B)1:3
(C)2:5(D)3:10
答()
8.设均为正整数,且
,,则当的值最大时,的最小值是
(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.
答()
二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.
2.若,则的最大值是__________.
3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则.
4.若都是正实数，且，则.
第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.
二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.
求证：.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A：320651 B：105263
C：612305 D：316250
已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和