历届全国初中数学联赛试题.docx

历届全国初中数学联赛试题历届全国初中数学联赛试题1981年，中国数学会开始举办“全国高中数学联赛”，经过1981、1982、1983三年的实践，这一群众性的数学竞赛活动得到了广大中学师生欢迎，也得到教育行政部门、各级科学技术协会、以及社会各阶层人士的肯定和支持。以下是小编帮大家整理的，欢迎大家分享。一、选择题:（每小题7分，共计42分）1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（）（A）a＞ba2＞b2;(B)a≠ba2≠b2;(C)|a|＞ba2＞b2;(D)a＞|b|a2＞b22、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（）（A）0(B)3(C)22005(D)3220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）块。(A)16(B)18(C)20(D)224、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（）（A）4（B）－1（C）4或－1（D）－4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个6、如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（）（A）a+b+c=0（B）b＞a+c（C）c＞2b（D）abc＜0二、填空题:（每小题7分，共计28分）1、已知：x为非零实数，且=a,则=_____________。2、已知a为实数，且使关于x的.二次方程x2+a2x+a=0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC=_________.4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。五、（本题满分25分）设x=a+b－c,y=a+c－b,z=b+c－a,其中a、b、c是待定的质数，如果x2=y,=2,试求积abc的所有可能的值。参考解答及评分标准一、选择题（每小题7分，共计42分）1、D2、B3、C4、A5、C6、C二、填空题（每小题7分，共计28分）1、a2－22、3、45°4、12三、解：∵原点是线段AB的中点点A和点B关于原点对称设点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（―a，―b）……5分又A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：…………………………10分解之得：a=1,b=4或者a=－1,b=－4…………………15分故A为（1，4），B为（-1，-4）或者A（-1，-4），B（1，4）.……20分四、解：如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4∴ΔCDE∽ΔCAD∴①………………5分又∵ΔADE∽ΔBDA∴②………………10分由①、②及AB=AC，可得AE=CD…………15分又由ΔCDE∽ΔCAD可得，即AE2=CD2=CECA…………20分设AE=x，则CE=d－x，于是x2=d(d－x)即有AE=x=（负值已舍去）……………………25分五、解：∵a+b－c=x,a+c－b=y,b+c－a=z,∴a=,b=,c=…………………5分又∵y=x2,故a=---(1);b=-----(2)c=----(3)∴x=---------------(4)∵x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数。………………10分于是，2a=，其中a是质数，故有=2,=a∴T=5,a=3……………………15分将a=3代入（4）得x=2或－3.当x=2时，y=x2=4,因而－2=2，z=16，代入（2）、（3）可得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，当舍去。……………………20分当x=－3时，y=9.－3=2,∴z=25代入（2）、（3）可得b=11，c=17∴abc=3×11×17=561……………………………25分