等比数列学案.doc

2.4等比数列（一）
一、学习目标
1.掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并简单加以运用．
2.培养学生的类比、归纳、猜想能力．
3.感受等比数列丰富的现实背景，培养学生对数学学习的兴趣．
二、教学过程
（一）复习
单利，即是不把利息加入本金计算下一期的利息。比如，现在存入银行1万元钱，年利率是5%，那么5年内各年末的本利和分别是：
时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010500第2年1000011000第3年1000011500第4年1000012000第5年1000012500（二）等比数列的定义
复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.比如，现在存入银行1万元钱，年利率是5%，那么5年内各年末的本利和分别是：
时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010000×1.05第2年10000×1.0510000×1.052第3年10000×1.05210000×1.053第4年10000×1.05310000×1.054第5年10000×1.05410000×1.055抽象概括：
类比等差数列，我们有等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示，即：=
问题1下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？
（1）；（2）；（3）；（4）．

抽象概括：
（1）由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为，因此q也不能是.
（2）对公比q的探究：（a1﹥0时）
当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递数列；
当q=1时，等比数列{an}为数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为数列。
（三）等比数列的通项公式
问题2类比等差数列通项公式的推导过程，你可以得到等比数列的通项公式吗？
方法一：累加法
在等差数列中在等比数列中

两边累加有：两边有：
方法二：迭代法
在等差数列中在等比数列中

抽象概括：
已知数列{an}为等比数列，其首项为a1，公比为q，则其通项公式为
（四）例题讲解
例:在等比数列{an}中，
(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；
(2)已知a1＝eq\f(9,8)，an＝eq\f(1,3)，q＝eq\f(2,3)，求n.

变式训练1：在等比数列{an}中.
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.

变式训练2：现在某人存入银行1万元，年利率5%（）.
（1）按照单利计算，第几年的年末本利和翻两番。
（2）按照复利计算，第几年的年末本利和翻两番。

（五）小结
1.等比数列的定义：eq\f(an＋1,an)＝q(与n无关的常数)
2.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.

三、思考尝试
思考尝试1：已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，
求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

思考尝试2：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1))是等比数列；
(2)求an的表达式．