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圆中辅助线的添法

圆是初中重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的题，大部分需添辅助线解之，现就圆辅助线的添法作一归纳，以期对同学们有所帮助。
一、有关直径问题，常作直径上的圆周角
例1如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N。
求证：BA·BM=BC·BN；
如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值。
M
N
O
C
A
图1
证明：联结MN，则∠BMN=90°=∠ACB
∴△ACB∽△NMB
∴
∴AB·BM=BC·BN
解：联结OM，则∠OMC=90°
∵N为OC中点
∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°
∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
二、有关弦的问题，常作其弦心距
例2如图2，矩形ABCD与
圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，
D
A
E
G
H
F
C
B
O
图2
AG=1cm，DE=2cm，则EF=cm。
解：作OH⊥EF于H，则EF=2HE，
而HE=HD-DE=OA-DE=AG+GO-DE=1+4-2=3
∴EF=2×3=6，
三、直线与圆相切的问题，常联结过切点的半径，
得到垂直关系；或选弦切角、圆周角，找出等角关系。
(
如图3，AB、AC分别是⊙O
的直径和弦，点D为劣弧上一点，弦ED分别
交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，
过点C的切线交ED的延长线于P。
(
（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED
（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？
证明：（1）联结OC
A
B
C
D
E
F
H
P
1
2
3
4
5
图3
O
∵PC=PF，∴∠4=∠5
∵∠4=∠3，∴∠3=∠5
∵OA=OC，∴∠1=∠2
∵PC切⊙O于点C
∴OC⊥PC，∴∠1+∠5=90°
(
∴∠2+∠3=90°∴∠AHF=90°，即AB⊥DE
(
(
（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF
联结AB，∵AD=CD，∴∠DAF=∠AED
∵∠ADF=∠ADE，∴△ADF∽△EDA
∴，即AD2=DE·DF
四、两圆相切，常作过切点的公切线或连心线，
充分利用弦切角定理，切割线定理和连心线必过切点等定理。
例4如图4，⊙O2与
半圆O1内切于点C，与半圆的直径AB切于点D，若AB=6，⊙O2的半径为1，则
∠ABC的度数为。
A
B
C
D
O1
O2

图4

解：联结O1O2，则O1、O2、C在一直线上，联O2D，则O2D⊥AB
在Rt△O2DO1中，O1O2=3-1=2，O2D=1，∴∠O2O1D=30°
∵O1C=O1B∴∠ABC=75°
五、有两圆外公切线，常过小圆圆心作公切线的平行线选直角三角形和矩形。
A
O1
C
P
B
E
O2
图5
例5如图5，两圆互相外切，它们的外公切线与内公切线之间的较小夹角为60°，求两圆半径的比。

解：过O1作O1E⊥O2B交O2B于E，设⊙O1半径为R1，⊙O2半径为R2，则O2E=R2-R1，而O1O2=R1+R2
∴∠ACP=60°→∠AO1O2=120°
→∠EO1O2=30°
∠AO1E=90°
∴sin30°==，
即=→R2=3R1→=
六、两圆相交，常联公共弦或连心线
例6已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交
⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D。
如图6，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论。
A
O1
C
B
E
O2
图6
F
D
·
·
当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径。
（1）EA=ED成立
证明：联结AB，在EA延长线上取点F，
∵AE是⊙O的切线，切点为A
∴∠FAC=∠ABC
∵∠FAC=∠DAE∴∠ABC=∠DAE
而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角
∴∠ABC=∠D
∴∠DAE=∠D
∴EA=ED
（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，
所以直线CA与⊙O2相切
A
O1
C

E
O2
图7
·
·
2
1

3
4
解：如图7，由弦切角定理知：
∠1=∠3，∠2=∠4
而∠1=∠2
∴∠3=∠4=×180°=90°
∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径
∴由切割线定理知：AC2=CB·CE
而CB=2，CE=8∴AC2=2×8=16，AC=4
故⊙O1直径为4

几何变换在圆中的重要应用

学习了圆和几何变换之后，利用几何变换，巧妙结合圆的对称性，可以很快解决一些问