圆辅助线的添法.doc

圆辅助线的添法山西马志君圆是初中重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的题，大部分需添辅助线解之，现就圆辅助线的添法作一归纳，以期对同学们有所帮助．一、有关直径问题，常作直径上的圆周角例1（2006.济宁市）如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．求证：BA·BM=BC·BN；如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．MNOCA图1证明：联结MN，则∠BMN=90°=∠ACB∴△ACB∽△NMB∴∴AB·BM=BC·BN解：联结OM，则∠OMC=90°∵N为OC中点∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6二、有关弦的问题，常作其弦心距例2（2006.南京市）如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，DAEGHFCBO图2AG=1cm，DE=2cm，则EF=cm．解：作OH⊥EF于H，则EF=2HE，而HE=HD-DE=OA-DE=AG+GO-DE=1+4-2=3∴EF=2×3=6，三、直线与圆相切的问题，常联结过切点的半径，得到垂直关系；或选弦切角、圆周角，找出等角关系．(（2006.湖北黄冈）如图3，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．ABCDEFHP12345图3O(（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？证明：（1）联结OC∵PC=PF，∴∠4=∠5∵∠4=∠3，∴∠3=∠5∵OA=OC，∴∠1=∠2∵PC切⊙O于点C∴OC⊥PC，∴∠1+∠5=90°(∴∠2+∠3=90°∴∠AHF=90°，即AB⊥DE((（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF联结AB，∵AD=CD，∴∠DAF=∠AED∵∠ADF=∠ADE，∴△ADF∽△EDA∴，即AD2=DE·DF四、两圆相切，常作过切点的公切线或连心线，充分利用弦切角定理，切割线定理和连心线必过切点等定理．图4ABCDO1O2例4（2005.山西省太原市）如图4，⊙O2与半圆O1内切于点C，与半圆的直径AB切于点D，若AB=6，⊙O2的半径为1，则∠ABC的度数为．解：联结O1O2，则O1、O2、C在一直线上，联O2D，则O2D⊥AB在Rt△O2DO1中，O1O2=3-1=2，O2D=1，∴∠O2O1D=30°∵O1C=O1B∴∠ABC=75°五、有两圆外公切线，常过小圆圆心作公切线的平行线选直角三角形和矩形．AO1CPBEO2图5例5如图5，两圆互相外切，它们的外公切线与内公切线之间的较小夹角为60°，求两圆半径的比．解：过O1作O1E⊥O2B交O2B于E，设⊙O1半径为R1，⊙O2半径为R2，则O2E=R2-R1，而O1O2=R1+R2}∴∠ACP=60°→∠AO1O2=120°→∠EO1O2=30°∠AO1E=90°∴sin30°==，即=→R2=3R1→=六、两圆相交，常联公共弦或连心线例6（2005.山西省）已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．如图6，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论．AO1CBEO2图6FD··当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．（1）EA=ED成立证明：联结AB，在EA延长线上取点F，∵AE是⊙O的切线，切点为A∴∠FAC=∠ABC∵∠FAC=∠DAE∴∠ABC=∠DAE而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角∴∠ABC=∠D∴∠DAE=∠D∴EA=ED（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切AO1CEO2图7··2134解：如图7，由弦切角定理知：∠1=∠3，∠2=∠4而∠1=∠2∴∠3=∠4=×180°=90°∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径∴由切割线定理知：AC2=CB·CE而CB=2，CE=8∴AC2=2×8=16，AC=4故⊙O1直径为4