一道线面平行题的多种证法.doc

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一道线面平行题的多种证法

题目：一条直线分别与两个相交平面平行，那么这条直线必与这两个相交平面的交线平行．

已知：直线分别平行于平面，平面，且．
求证：．
证法一：（作出辅助直线）
如图1，，，过分别作平面与平面交于直线，
，．
同理，．
，，
，．

证法二：（利用同一法）
如图2，在平面的交线上任取一点，过点作直线．
，在内（一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点而与这条直线平行的直线都在这个平面内）；
同理，也在内．
故与的交线重合，则有．
证法三：（借助辅助平面）

如图3，过交线上一点和直线作平面，因与有公共点，则分别为有过点的一条交线，记为，
，
，
但过点有且只有一条直线平行于，
故直线重合，且这条直线既在上，又在上，即为的交线，故．

证明线线平行时常采用的方法有：
利用线线平行的定义，证共面且无公共点；
利用公理4，证两直线同时平行于第三条直线；
利用线面平行的性质定理把证明线线平行转化为证明线面平行．
转化思想在立体几何中，贯穿全篇，转化途径是把立体几何问题转化为平面问题来解决．