高考数学_立体几何理科典型例题选讲.doc

立体几何理科典型例题选讲
．（福建省三地09-10学年高二五校联考（理））如图在棱长为2的正方体中,点F为棱CD中点,点E在棱BC上
(1)确定点E位置使面;
(2)当面时,求二面角的平面角的余弦值;

【答案】:(1)以A为原点,、、线为坐标轴建立如图空间直角坐标系
设

则面有且
得为中点
(2)面时取
设面的一个法向量为
且则取
得二面角的余弦值为
．（广东省汕尾市08-09学年高二下学期期末考试（理））如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD．BC的中点,,

(Ⅰ)求证:平面BCD;
(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离.

【答案】(Ⅰ).证明:连结OC.同理.
在中,由已知可得
即
∴平面
(Ⅱ)解:以O为原点,如图建立空间直角
坐标系,则

,
∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为

(Ⅲ)设E到平面ACD的距离为h,由E是BC的中点得B到平面ACD的距离为2h
又经计算得:

E到平面ACD的距离为
．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））如图,在直三棱柱中,,?M、N分别是AC和BB1的中点?
(1)求二面角的大小?
(2)证明:在AB上存在一个点Q,使得平面⊥平面,并求出的长度?

【答案】:如图建立空间直角坐标系
(1)
∴
设平面的法向量为,平面的法向量为
则有

设二面角为θ,则

∴二面角的大小为60°?
(2)设
∵
∴,设平面的法向量为
则有:
由(1)可知平面的法向量为
∵平面⊥平面
∴即,
此时?
．（2009高考(陕西文)）如图,直三棱柱中,AB=1,,∠ABC=60.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角A--B的大小?

【答案】(1)证三棱柱为直三棱柱,

,,
由正弦定理
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图,建立空间直角坐标系,
则

(2)解,如图可取为平面的法向量
设平面的法向量为,
则

不妨取

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

．（北京市东城区08-09学年高二上学期期末）如图,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,E、F分别是AB．PC的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:EFCD;
(Ⅲ)若,∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成角的大小.

【答案】证明:如图,建立空间直角坐标系A-xyz,设AB=2a,BC=2b,PA=2c,
则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c).
∵E为AB的中点,F为PC的中点,
∴E(a,0,0),F(a,b,c).

(Ⅰ)∵=(0,b,c),=(0,0,2c),
=(0,2b,0),
∴=(+).
∴与、共面.
又∴平面PAD,
∴EF∥平面PAD
(Ⅱ)∵=(-2a,0,0),
∴·=(-2a,0,0)·(0,b,c)=0.
∴EFCD
(Ⅲ)若∠PDA=45°则有2b=2c,即b=c.
∴=(0,b,b),=(0,0,2b).
∴<,>=
∴<,>=45°.
∵AP平面ABCD,
∴是平面ABCD的法向量.
∴EF与平面ABCD所成的角为90°-<,>=45°

．（四川省遂宁市08-09学年高二下学期期末（文））如图,PA⊥平面ABCD,四边
形ABCD是正方形,PA=AD=2,M、N分别是AB．PC的中点.
(1)求二面角P-CD-B的大小;
(2)求证:平面MND⊥平面PCD;
(3)求点P到平面MND的距离.

【答案】(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴AD是PD在平面ABCD上的射影.
由ABCD是正方形知AD⊥CD,
∴PD⊥CD．
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.
∵PA=AD
∴∠PDA=45o,
即二面角P-CD-B的大小为45o
(2)如图,建立空间直角坐标系至A-xyz,则
P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),M(1,0,0),
∵N是PC的中点,
∴N(1,1,1).
∴(0,1,1),(-1,1,-1),(0,2,-2).
设平面MND的一个法向量为m=(x1,y1,z1),平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2).
∴m,m,即有
令z1=1,得x1=-2,y1=-1.
∴m=(-2,-1,1).
同理由n,n,即有
令z2=1,得x2=0,y2=1.
∴n=(0,1,1,).
∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0.
∴m⊥n.
∴平面MND⊥平面PCD
(3)设P到平面MND的距离为d.
由(2)知平面MND的法向量m=(-2,-1,1)
∵m=(0,2,-2)·(-2,-1,1)=-4,
∴|m|=4.
又|m|=,
∴d=
即点P到平面MND的距离为
．（