指数式与对数式.doc

第页共NUMPAGES5页
高三第一轮复习数学---指数式与对数式
一、教学目标：
1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；
2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．
二、教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明
三、教学过程：
（一）主要知识：
1．幂的有关概念
(1)正整数指数幂
(2)零指数幂
(3)负整数指数幂
(4)正分数指数幂；
(5)负分数指数幂
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2．有理数指数幂的性质

3．根式的内容
（1）根式的定义:一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，
叫做根指数，叫被开方数。
(2)根式的性质:①当是奇数，则；当是偶数，则
②负数没有偶次方根，
③零的任何次方根都是零
4．对数的内容
(1)对数的概念
如果,那么b叫做以a为底N的对数,记
(2)对数的性质：①零与负数没有对数②③
(3)对数的运算性质
其中a>0,a≠0,M>0,N>0
(4)对数换底公式：
（二）主要方法：
1．重视指数式与对数式的互化；
2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；
3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．
（三）例题分析：
例1计算下列各式
①
②
③
④
思维分析：式子中既有分数指数、又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式，对数运算应根据对数的运算法则进行运算。
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
练习（变式1）计算
（1）答案：
（2）答案：45
（3）答案：1
（4）答案：1
2．条件求值证明问题
例2已知，求下列各式的值
（1）（2）
思维分析：如何合理运算已知条件，熟练掌握乘法公式及方程的观点处理问题。
解：（1）两边平方得
（2）原式=
练习（变式）设的值。答案：2
设
3．换底公式及应用
例3（1）已知（2）若
思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，再进行代换。
解：（1）
（2）

4．指对数互化
例4已知x,y,z为正数，满足
①求使2x=py的p的值，②求与①中所求的p的差最小的整数
③求证：④比较3x、4y、6z的大小
思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。
解：①设，
由2x=py得
②又
故与p差最小的整数是3。
③
④

练习（变式4）已知a、b、c均是不等于1的正数，且，求abc的值答案：1
5．综合应用
例5已知函数
①证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间，
②分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，
由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的x都成立的一个等式。
解：（1）函数f(x)的定义域为，关于原点对称，又
∴f(x)是奇函数
设
f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(-∞，0)上也单调递增。
（2）计算得f(4)-5f(2)g(2)=0，f(9)-5f(3)g(3)=0，由此概括出对所有不等于零的实数x的：f(x2)-5f(x)g(x)=0.
（四）巩固练习：
1．计算：（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．

2．已知，求的值．
解：∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，
∴．

3．已知，且，求的值．
解：由得：，即，∴；
同理可得，∴由得，
∴，∴，∵，∴．

4．设，，且，求的最小值．
解：令，∵，，∴．
由得，∴，
∴，∵，∴，即，∴，
∴，
∵，∴当时，．

四、小结：
1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质加以解决，要注意运用方程的观点处理问题。
2．指对数互化是解决有关指、对数问题的有效方法。
五、作业：