第二章第5讲二次函数与幂函数.doc

第5讲二次函数与幂函数

1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质

解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称[做一做]
1．已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，3))在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x－2
C．f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2)) D．f(x)＝x
答案：B
2．已知f(x)＝x2－2mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
答案：(－∞，2]

1．辨明两个易误点
(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2．会用两种数学思想
(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．
(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．
[做一做]
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20)))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0))
解析：选C.由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－20a＜0，))得a＞eq\f(1,20).
4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()
A．[0，1] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
解析：选B.如图，由图象可知m的取值范围是[1，2]．

,[学生用书P24～P25])

eq\a\vs4\al(考点一)__幂函数的图象及性质________________

(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()

(2)当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．
[解析](1)设幂函数的解析式为y＝xα，
∵幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
∴2＝4α，解得α＝eq\f(1,2).
∴y＝eq\r(x)，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，故选C.

(2)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x