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统计回归模型

10.1牙膏的销售量
10.2软件开发人员的薪金
10.3酶促反应
10.4投资额与国民生产总值和

物价指数

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数学建模的基本方法机理分析测试分析
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,
无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规
律的数学模型。
通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型

回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型

•不涉及回归分析的数学原理和方法

•通过实例讨论如何选择不同类型的模型

•对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进
10.1牙膏的销售量
问建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型
题预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
销售本公司价其它厂家广告费用价格差销售量
周期格(元)价格(元)(百万元)（元）(百万支)
13.853.805.50-0.057.38
23.754.006.750.258.51
………………
293.803.855.800.057.93
303.704.256.800.559.26
基本模型y10
9.5
y~公司牙膏销售量9
8.5
x1~其它厂家与本公司价格差8
x~公司广告费用7.5
27
-0.200.20.40.6
y=β+βx+βx+βx2+εx1
0112232y=β0+β1x1+ε
y~被解释变量（因变量）y10
9.5

9
x1,x2~解释变量(回归变量,自变量)
8.5

8
β0,β1,β2,β3~回归系数
7.5

7
ε~随机误差（均值为零的55.566.577.5
x2
2
正态分布随机变量）y=β0+β1x2+β2x2+ε
模型求解MATLAB统计工具箱
2
y=β0+β1x1+β2x2+β3x2+ε由数据y,x1,x2估计β

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

输入y~n维数据向量输出b~β的估计值
2
bint~b的置信区间
x=[1x1x2x2]~n×4数
据矩阵,第1列为全1向量r~残差向量y-xb
alpha(置信水平,0.05)rint~r的置信区间
参数参数估计值置信区间
Stats~
β017.3244[5.728228.9206]
检验统计量
β11.3070[0.68291.9311]
2
β2-3.6956[-7.49890.1077]R,F,p
β30.3486[0.03790.6594]
R2=0.9054F=82.9409p=0.0000
2
结果分析y=β0+β1x1+β2x2+β3x2+ε
参数参数估计值置信区间

β017.3244[5.728228.9206]
β11.3070[0.68291.9311]
β2-3.6956[-7.49890.1077]
β30.3486[0.03790.6594]
R2=0.9054F=82.9409p=0.0000
y的90.54%可由模型确定F远超过F检验的临界值
p远小于α=0.05模型从整体上看成立

β2的置信区间包含零点x2对因变量y的
(右端点距零点很近)影响不太显著

2
x2项显著可将x2保留在模型中
ˆˆˆˆ2
销售量预测yˆ=β0+β1x1+β2x2+β3x2

价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4

估计x3调整x4控制x1通过x1,x2预测y

控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元
ˆˆˆˆ2
yˆ=β0+β1x1+β2x2+β3x2=8.2933(百万支)
销售量预测区间为[7.8230，8.7636]（置信度95%）

上限用作库存管理的目标值下限用来把握公司的现金流

若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知
道销售额在7.8320×3.7≈29（百万元）以上
2
模型改进y=β0+β1x1+β2x2+β3x2+ε
参数参数估计值置信区间
x1和x2对y
β017.3244[5.728228.9206]
的影响独立
β11.3070[0.68291.9311]
β2-3.6956[-7.49890.1077]
β
x1和x2对y30.3486[0.03790.6594]
的影响有R2=0.9054F=82.9409p=0.0000
2
交互作用y=β0+β1x1+β2x2+β3x2+β4x1x2+ε
参数参数估计值置信区间

β029.1133[13.701344.5252]
β111.1342[1.977820.2906]
β2-7.6080[-12.6932-2.5228]
β30.6712[0.25381.0887]
β4-1.4777[-2.8518-