排队论模型.ppt

应用数学系
王海军
[e-mail]一、背景
例子顾客在超市排队付款，汽车过收费站
a.增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲浪费；
b.减少收银台，顾客排队时间太长。
选择最优收银台数
三、M/M/s模型假设

(1)顾客到达规律：Possion过程
定义1时间段t内到达的顾客数，即

顾客到达的时间间隔独立同指数分布，即

(2)服务时间：指数分布
服务时间

(3)排队规则：先到先服务
四、M/M/s模型
1.M/M/1系统1个服务台
(1)建模
：时刻t系统内有n个顾客的概率

事件包含三种情况：
且内到达一人；
且内离开一人；
且内无人到达或离开。

舍掉高阶项，根据全概率公式

动态模型：
稳定状态：与时间t无关

解此方程组得稳定状态解为：

令为服务强度，则由
知

因而
●系统平均队长

●排队等待的平均队长

●顾客排队逗留时间
顾客到达时间间隔，服务时间，
顾客排队逗留时间
顾客平均逗留时间
●顾客平均等待时间

例1.某医院某科室有一位医生值班，每小时平均有4个病人，医生每小时平均可诊治5个病人。如果要满足99％以上的病人有座位，至少应设多少个座位？如果每小时可诊治6个病人，可减少多少个座位？病人平均等待时间是多少？解：设病人来到服从Possion分布，医生诊断时间服从指数分布，则该系统是M/M/1系统，且
为满足99％以上的人有座位，设应设m个座位，则(3)M/M/1系统的最优服务率例2某生产厂家有多台机器,每台机器连续运转的时间服从指数分布,平均为1小时,每台故障机器的损失费为3200元/小时.有1个维修工人,每次维修时间服从指数分布,每台故障机器的修理费用为100元/小时,求最优的每台机器维修时间.

解:由题意知2.M/M/s系统ns个服务台
（1）模型
记，系统稳定的条件：

系统中有个顾客的概率
排队等待平均队长

系统平均队长

顾客在队列中平均等待时间

顾客在系统中平均逗留时间

以s＝2为例，设两个服务员的平均服务时间均为，有两种服务方式
(A)M/M/2系统
(B)两个M/M/1系统(3)M/M/s系统的最优服务台数
设顾客等待单位时间带来的损失为,单位时间每个服务台的服务成本为,则单位时间总费用的期望值为

是等待顾客平均队长.最优服务台数目满足:
对于依次计算及
当已知满足

时即可确定最优值解：由题意，

②若设置2个收银台，则为M/M/2系统，其服务强度为系统内等待的顾客平均数为五、大型超市购物者付款排队系统优化模型2.最优收银台数
系统达到稳定状态时，一个顾客在收费系统
中的平均等待时间不超过顾客能接受的平均
等待时间，求此时的最小收费台开放数。收银台有效工作效率为
3.应用
上海某大型超市客流调查数据：顾客缴费时间v服从参数为的指数分布时段/时结论：
(1)时段9:00-11:00和17:00-21:00优化的台数
小于实际开放的台数，这些时段实际开放的台数过多；
时段11:00-17:00和21:00-23:00实际开放的台数太少，
尤其22:00-23:00时段，顾客的等待时间将超过他们能
接受的等待时间，顾客将不满意；
六、排队论与博弈论的结合－产品定价的排队博弈模型2.模型
市场上生产某产品的企业有n家，不同企业在品牌、质量和包装方面有所不同，考虑一家企业对其产品的最优定价，n家企业的平均看成虚拟企业2。这是双寡头竞争条件下企业产品的最优定价。企业2：单位生产成本

质量参数

产品价格企业1：订单到达Poisson过程参数
生产时间指数分布参数
客户在企业1平均逗留时间

客户在企业1处定购产品的等待成本顾客满意价值与产品的品牌效应、质量水
平和产品的售后服务有关客户在企业2处订购产品的消费者剩余企业1的利润：企业2的决策：企业1定价已知，确定最优价

企业2的利润：结论：企业产品的最优定价与产品的成本、
质量、产品交易的服务速度和竞争对手单位
产品成本、质量、交易成本等因素有关。
轿车按质量分为3类：A等（高质量）
B等（中等质量）
C等（低质量）该城市汽车经销商最低盈利水平6万元/月，顾客单位
等待成本h=0.2万元/天，该城汽车需求量
该汽车集团为新生民营企业，品牌效应低于桑塔纳、
捷达等传统品牌，因而设最优定价使得产品市场占有率最大，应采取中
成本高质量定价策略此时产品的市场占有率最
高为5.7％。