排队论模型.doc

2010年东北大学数学建模培训模拟竞赛

参赛队：学号姓名班级

选择题目：A√B

东北大学大学生创新中心

基于排队论的生产系统分析
一、摘要
本文为B题的生产系统的优化问题做出了自己的解释，通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，得出了前三问。最后一问在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。
关键词：排队理论、生产系统、蒙特卡洛方法
二、问题的提出
在科学技术突飞猛进的今天，人类的生产力有了很大程度的提高，目前的系统分析已经不仅仅局限于单纯产量的提高，整个系统资源的利用和效率的高低成为衡量生产抑或服务系统的重要指标，而我们的制造业和服务业种系统的效率问题正在成为人们的焦点。本题目正是从实际的生产系统中抽象出来的一个子系统，原题给出了在只有一台工具维修设备的前提下，20名工人的实际操作结果。维护生产正常进行的各项费用已知，题目要求我们对已有问题建立数学模型并改进：
(1)建立数学模型分析该车间是否应该另外添置一台打磨机？
(2)现在车间要求达到平均两个小时内只有一人在等候打磨，利用所建模型分析此要求是否可行，车间需要支出费用多少？
(3)车间为了确保整个生产安全有序地进行，就要让在打磨间的人数尽量少于2人，利用所建模型分析此要求是否能够实现，车间需要支出费用多少？
(4)如果在16:00打磨机停止工作，多少工人可以提前多长时间下班？现在该车间想调整作息时间为8:00-12:00，13:00-17:00，打磨机工作时间为8:00-17:00，模型应该如何调整？
三、条件假设
（1）基于排队系统的假设
输入过程：中顾客的总体是有限的，且到了的方式是一个一个的，工具相继到达的间隔时间是随机性的，但是服从一定条件的概率分布；工具的到达也是相互独立的，就是说，以前的到达情况对以后工件的到来没有影响；输入过程是平稳的，也可以认为是时间齐次的，是指描述相继到达的时间间隔分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的。
排队规则：根据题目的已知数据进行分析，工件到达时，如所有的服务台均被占用着，则工具将会等待，服务机制属于先到先服务；从占有的空间上来看，对于等待队伍的长度没有最大限制；从等待队伍的数量上来看，队伍是单列的。
服务机构：带有多个服务台的机构中，它们应该是平行并列的（如第一问）服务的方式为每次一台机器对一个工具进行加工；跟本题的输入过程一样，服务时间也是随机性的，但是服从一定条件的概率分布，并且服务时间也是时间齐次性的。
（2）对于到达时刻的假设
对于工具到达时间：
1、根据排队论和概率论的相关理论，我们易知在不相重叠的时间间隔内工具到达数是相互独立的，即为无后效性，
2、在充分小的一段时间间隔之内，在区间内有一个顾客到达的概率与时间无关，而约与时间长度成正比，即

其中是常数，它表示单位时间有一个顾客到达的概率，称为概率强度。
3、另一方面，对于充分小的，在时间间隔内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即
（1）
泊松分布的概率如下所示，意为在t的时间间隔中到达n个顾客的概率

满足以上三个条件的分布被称作泊松流，我们得知该题目的工具到达时间服从泊松分布。通过计算机的相关假设检验，在0.05的置信度基础之上，可以认为工件的到达时间服从该分布。

四、符号约定
Kendall记号
X表示相继到达间隔时间的分布，Y表示服务时间的分布，Z表示并列的服务台的数目。A系统容量限制，B为顾客源数目，C为填写的服务规则，例如先到先服务（）。
队长，指在系统中的顾客数
指在系统中排队等待服务的顾客数
指一个顾客在系统中的停留时间，期望值
一个顾客在系统中排队等待的时间，期望值
项目总花费
服务设备总投资
平均到达率
服务机构单位时间的费用，为常数6.67
顾客在系统停留单位时间的费用，为常数10
五、问题分析
1.名词解释
排队论：排队论(QueuingTheory)，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。【】本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。

：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。

蒙特卡洛方法：HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/113904.htm"\t"_blank"蒙特卡洛法蒙特卡洛(MonteCarlo)方法，或称计算机随机模拟