高速公路的交通流模型.doc

评估各条高速路段最大流量
在研究车辆沿高速路行驶时，我们需要研究高速路车辆流与那些因素有关从而建立一个高速公路交通流模型，这里我们根据高速路上车流的速度和单车道车流密度对其车流量进行估计。
我们知道，一般高速公路单方向上分多个车道，设车道数为.
这里我们假设各车道之间无差异，各自独立行车，不存在相互超车，越道情况。
根据各变量的定义，可知
（1）
在实践中，可以经常看到：当道路的车辆增多时、车流密度增大，驾驶员被迫降低车速。当车流密度由大变小时，车速又会增加。这说明车速和密度之间有一定关系，并且车速随车流密度呈递减关系。一种最简单的假设是车速随车流密度呈线性递减关系。
即有
，其中为正常数（2）
考虑到实际随着车流密度的增加，速度的减小速率应该增加。因此将上述模型修正为
（3）
易知此模型为二次函数模型。
当车流密度为零，即时，速度可达理论最高值，即所谓的畅行速度。从而
（4）
当车流密度达到阻塞密度时，速度，公路处于阻塞状态。即
（5）
根据式（3）（4）（5）可得
,(6)
结合（1）有
（7）
这就是我们得到的高速公路车辆流模型，该模型反映的是车流与车速和密度三者之间的关系，下面我们将据此分析实际高速路的车辆流变化以及其所能承受的最大流量。为了更直观的了解该函数的特性，以下画出上述2个函数图像。

图1：基于上述模型得到函数V
和Φ关于K的函数大致图像
根据多元函数最值分析，令，最终得到当时，
（8）
这就是高速公路最大车流量计算式。下面我们需要对和进行估计。
一般的，高速公路行驶设有速度下限和上限，我们这里取畅行速度
(9)
为了求出阻塞密度，我们假设高速路上平均车长为，最小平均最小车距为。这里所谓含义是当平均车距时，公路将阻塞，反之公路畅通。因而有
（10）
查阅题中相关关高速路速度限制资料，我们有下表
高速路同方向车
道数速度下限（km/h）速度上限（km/h）I-26296.6128.8I-20296.6128.8I-95296.6128.8I-77296.6128.8US-501180.5112.7表1
为了计算出公路最大流量，我们假设平均车长，最小车距,基于上述模型，得到下表表数据
高速路畅行速度（km/h）阻塞密度
（cars/km）最大车流量（cars/h）I-26112.728.572478.8I-20112.728.572478.8I-95112.728.572478.8I-77112.728.572478.8US-50196.628.571062.3表2

下图给出车流在不同畅行速度和车道数情况下的关于车辆密度曲线。通过曲线可知，最大车流量随畅行速度和车道数λ的增加而增加。

图2：最大流量Φ在相同阻塞密度下和不同车道数
和畅行速度下的关于车辆密度曲线图