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主成分分析和因子分析

史会峰

华北电力大学（保定）

2014年6月14日

史会峰(华北电力大学)华北电力大学数学建模俱乐部2014年6月14日1/28
主成分分析PrincipalcomponentsanalysisPCA

主成分分析是一种分析、简化数据集的技术。主成分分析经常
用于减少数据集的维数，同时保持数据集中的对方差贡献最大的
特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。
主成分分析是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法,其
方法主要是通过对协方差矩阵进行特征分解，以得出数据的主成
分(特征向量)与它们的权值(特征值)。PCA提供了一种降低数据维
度的有效办法；如果分析者在原数据中除掉最小的特征值所对应
的成分，那么所得的低维度数据必定是最优化的,也就是，这样降
维必定是失去讯息最少的方法。

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具体例子

为了评价企业的经济效益,选用了8个指标作为经济效益评价
的指标体系:

x1固定资产利税率,X2资金利税率,x3销售收入利税率,x4

资金利润率,x5固定资产产值率,x6流动资金周转天数,x7万元

产值能耗,x8全员劳动生产率.

其中指标x1;x2;x3;x4;x5;x8是正向指标,它们的取值越大越

好,而指标X6;x7是反向指标,它们的数值越大反而越不好,这时采
用它们的倒数.下表是15家企业的8项指标的数据:

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x1x2x3x4x5x6x7x8

116.6827.7531.8418.4053.255528.831.75

219.7027.5632.9419.2059.825532.922.87

315.2023.4032.9816.2446.786541.691.53

47.258.9721.304.7634.396239.281.63

529.4556.4940.7443.6875.326926.682.14

632.9342.7849.9833.8766.465032.872.60

725.3937.8536.7627.5668.186335.792.43

815.0519.4927.2114.2156.137635.761.75

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x1x2x3x4x5x6x7x8

919.8228.7833.4120.1759.257139.131.83

1021.1335.2039.1626.5252.476235.081.73

1116.7528.7229.6219.2355.765830.081.52

1215.8328.0326.4017.4361.196132.754.60

1316.5329.7332.4920.6350.416937.571.31

1422.2454.5931.0537.0067.956332.331.57

1512.9220.8225.1212.5451.076639.181.83

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这样关于这8个指标有15个样本观察值,将指标xi按照下面公
式进行标准化
xi−x¯i
x~i=p;
Si
其中
1515
1X1X
x¯=x;S=(x−x¯)2
i15iji14iji
j=1j=1

样本x~i,和x~2;的相关系数定义为

15
P
(~xil−x¯i)(~xjl−x¯j)
l=1(1)
s15s15
P2P2
(~xil−x¯i)(~xjl−x¯j)
l=1l=1

计算指标x~1;x~2;:::;x~8的相关系数矩阵为

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01
10:8490:9250:9020:8500:3250:4910:586
BC
BC
BC
B10:6930:9880:8600:1170:6100:525C
BC
BC
BC
B10:7760:6150:3670:3490:522C
BC
BC
BC
B10:8560:1290:6070:317C
BC
BC
BC
B10:0990:6200:976C
BC
BC
BC
BC
B10:2840:504C
BC
BC
BC
B10:194C
BC
@A
1

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计算相关系数矩阵的特征值,并按照从大到小次序排列得,前
三个特征值之和就占总和8的91:17%,因此选用三个指标就可综
合8个指标的91:17%的信息,这三个