拉格朗日插值法分析报告.doc

拉格朗日插值法分析报告
拉格朗日插值法介绍
插值概念简介
已知在区间上个不同点处的函数值，求一个至多次的多项式

使其在给定点处与同值，既满足插值条件

称为插值多项式，称为插值节点，称为插值区间。从几何上看，次的多项式插值就是过个点，作一条多项式曲线近似曲线。

图1多项式曲线以及近似曲线
2、拉格朗日插值法原理
在求满足插值条件次插值多项式之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点中任一点，作一n次多项式，使它在该点上取值为1，而在其余点上取值为零，即

上式表明个点都是次多项式的零点，故可设

其中，为待定系数。由条件立即可得

故
由上式可以写出个次插值多项式。我们称它们为在个节点上的次基本插值多项式或次插值基函数。
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的次插值多项式

根据条件，容易验证上面多项式在节点处的值为，因此，它就是待求的次插值多项式。
形如的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为，即

作为常用的特例，令，由上式即得两点插值公式
，这是一个线性函数，故又名线性插值。
若令，则又可得到常用的三点插值公式

这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物线插值。
算法设计
算法描述
输入已知点的个数；
分别输入已知点X的坐标；
分别输入已知点Y的坐标；
调用拉格朗日插值函数，求得某点对应的函数值。
算法流程图

分别输入已知点X的坐标和已知点Y的坐标
开始

=

程序源代码
#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
floatlagrange(float*x,float*y,floatxx,intk)
{
inti,j;
floatl,yy=0.0;
for(i=0;i<=k-1;i++)
{
l=1.0;
for(j=0;j<=k-1;j++)
if(j!=i)l=l*(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
yy=yy+y[i]*l;
}
returnyy;
}

intmain()
{
inti,n,k;
floatx[50],y[50],xx,yy;
printf("插值次数k:");
scanf("%d",&k);

printf("输入差值点个数n:");
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("x[%d]:",i);
scanf("%f",&x[i]);
}
printf("\n");
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("y[%d]:",i);
scanf("%f",&y[i]);
}
printf("\n");
printf("Inputxx:");
scanf("%f",&xx);
yy=lagrange(x,y,xx,n);
printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy);

}