数学建模之层次分析.ppt

第九章层次分析第九章层次分析这一系列的问题，单纯靠构造一个数学模型来求解的方法往往行不通，而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。
面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过程进行分析、研究。
美国运筹学家，T.L.Saaty等人在九十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（AHP法）
T.L.Saaty等曾把它用于电力工业计划，运输业研究，美国高等教育事业1985-2000展望，1985年世界石油价格预测等方面。
这种方法的特征：定性与定量相结合，把人们的思维过程层次化，数量化。
AHP法作为一种决策方法是在1982年11月召开的中美能源、资源、环境学术会议上，有Saaty学生H.Gholamnezhad首先向中国介绍的。以后层次分析法在中国得到很大的发展，很快应用到能源系统分析，城市规划，经济管理科研成果评价的许多领域。
§9.1层次分析法的基本步骤
运用AHP法进行决策时，大体可以分为4个步骤进行：
（1）分析系统中各个因素的关系，建立系统的递阶层次结构；
（2）对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵；
（3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；
（4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。
一、建立层次分析的结构模型：
用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类：
1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；
2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；
3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。决策目标注：层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。
例1、某顾客选购电冰箱时，对市场上正在出售的四种电冰箱考虑6项准则作为评价依据，得到如下层次分析模型：目标层：

准则层：

方案层：例2、选择科研课题：
某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？
考虑下列因素：
成果的贡献大小，对人材培养的作用，课题可行性。
在成果贡献方面考察：应用价值及科学意义（理论价值，对某科技领域的推动作用）；
在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持情况等）。目标层例3、设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。
此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（效益/代价）作为选择方案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。准则层

过河的代价A二、构造判断矩阵：
上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素Z（目标A或某个准则Z）相联系的下层元素（x1，x2，…，xn)各在上层元素Z之中所占的比重。
方法：每次取2个元素，如xi，xj，以aij表示xi和xj对Z的影响之比。这里得到的A=(aij)n×n称为两两比较的判断矩阵。Saaty建议用1~9及其倒数做为标度来确定aij的值，1~9比例标度的含义：
xi比xj强（重要）的程度
xi/xj相等稍强强很强绝对强
aij123456789
1~9标度的理由：两两比较的心理习惯，
显然，判断矩阵A的元素有如下特征：1°aij>0
2°aji=1/aij
3°aii=1

我们称判断矩阵A为正互反矩阵。
例如在例2中，准则层B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判断矩阵：
B1：B2为3B1：B3为1
认为人才培养比另二项稍重要，另二项差不多相同重要。判断矩阵
B1B2B3
B1131
A=B21/311/3
B3131
三、单一准则下元素相对排序权重计算及判断矩阵一致性检验：
1、单一准则下元素排序：
求判断矩阵A的最大特征值λmax及标准化（归一化）的特征向量W。W的向量为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权重。有wi>0，i，。在构造判断矩阵时，各层元素间两两比较时，aij应有某种传递性质，即若甲比乙重要，乙比丙重要