高中数学竞赛讲座圆锥曲线重要几何量问题的求解.doc

圆锥曲线重要几何量问题的求解

一、基础知识
1．圆锥曲线定义、方程、基本元素之间的关系，焦半径以及一些重要公式。
2．焦点弦长：是经过圆锥曲线（指的是椭圆、双曲线、抛物线，以下相同），若的倾斜角为，半焦距为，则：
（1）对于椭圆，；
（2）对于又曲线，；
（3）对于抛物线，．
3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点（对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为的弦，半焦距为，则
（1）对于椭圆，；
（2）对于又曲线，；
（3）对于抛物线，．
4．焦点三角形的面积：是椭圆椭圆或双曲线上一点，、是两焦点，若，则
（1）对于椭圆，；（2）对于双曲线，

例1．在椭圆中，记左焦点为，右顶点为，短轴上方的端点为．若该椭圆的离心率是，则．
解：设为椭圆的半焦距，则由，得．
又，，故．
而，故．
例2．已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么点P的横坐标是_____．
解：由双曲线的焦半径公式及题设条件得
，结合双曲线的范围或，即可得
例3．是抛物线的焦点，为抛物线上一点，抛物线的准线交轴于，若，，求证：．
解：利用抛物线的定义及正弦定理．
作，垂足为，则有，，从而有
，由此两个等式易得．
例4．是经过椭圆焦点的任一弦，若过椭圆中心的弦∥，求证：是定值．
证明：

例5．是椭圆的右准线，、是左、右焦点，．若椭圆的离心率，试求的最大值．

例6．是椭圆的左准线，在椭圆上放置个点（）使每相邻两点与左焦点连线所成的夹角均相等，试证明：这个点到的距离的倒数之和为一个仅与有关的常数．

例7．圆过椭圆的两个焦点、，它们有四个交点，其中一个交点为，若△的面积为26，椭圆长轴为15，则．

例8．双曲线的离心率，过双曲线的右焦点作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点，为左焦点，试求的大小．