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《高等代数II》习题课例题讲解

例1（《高等代数》张志让等，高教版.P214第1题）设e1,e2,,ee34是4维线性空间V的一个

基，线性变换s在这个基下的矩阵为
æö1021
ç÷-1213
ç÷
ç÷1255
ç÷
èø2--212

（1）求s在h1=e1-2e2+e4,h2=-3e2-e3-e4,h3=e3+=e4,2he44下的矩阵；

（2）求s的核与值域.

æö1021æö1000
ç÷-1213ç÷-2300
解（1）设A=ç÷，B=ç÷，显然B是可逆阵.
ç÷1255ç÷0-110
ç÷ç÷
èø2--212èø1-112

由题意知s(e1,e23,e,e4)=(e1,e234,,ee)A，(h1,h2,h3,h4)=(e1,e2,,ee34)B，因此，

-1
(e1,e23,e,e4)=(h1,h2,,hh34)B.

s(h1,h2,h3,h4)=sëûéù(e1,e234,,ee)B

=(s(e1),s(e2),,s(e34)se())B

=(e1,e234,,ee)AB

-1
=(h1,h2,,hh34)BAB.

计算得
æö2-332
-1ç÷
æ1000öæ1021öæö1000241010
ç÷ç÷ç÷ç÷-
-1-2300--12132300ç÷3333
BAB==ç÷ç÷ç÷
ç0--110÷ç1255÷ç÷0110ç÷8164040
ç÷ç÷ç÷ç÷-
è1-112øè2-21--2øèø1112ç÷3333
ç÷
èø01-78

为线性变换s在基h1,h2,,hh34下的矩阵.

注在求B-1时，可由已知两组基的关系容易解得

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ì221
e=h+h+-hhæö1000
ï11323432
ïç÷21
ï11ç÷00
e2=+hh23ç÷33
ï23-1
í，因此B=ç÷21.
ï1ç÷10
e3=-hh3433
ï2ç÷
ïç÷111
1ç÷--0
ïeh44=èø222
î2

（2）先求核s-1(0).

-1T
"Îas(0)，设a=(e1,e234,,ee)x，其中x=(x1,x2,,xx34).

由s(a)=s(e1,e23,e,e4)x==(e12,e,ee34,0)Ax知，Ax=0.对系数矩阵A施行初等行变

换得
æö1021
ç÷3
ç÷012
A®ç÷2.
ç÷0000
ç÷
èø0000

ìx=--2xx
ï134
所以，齐次线性方程组Ax=0可化为í3，它的一个基础解系是
x=--xx2
îï2234

TT
bb12=(4,3,-2,0),=(1,--2,0,1),

其通解为x=+cc1bb122，这里cc12,为任意常数.

所以，s-1(0)={aÎ=V|0sa()}

=+{c1(e1,e23,e,e4)b1c2(e1,e23,e,eb4)2|,cc12是任意常数}.

令x1=(e1,e23,e,e4)b1=+-4e132ee23，x1=(e1,e23,e,2e4)b2=e1--ee24，则

-1
s(0)=L(xx12,).

下面再求值域s(V).

对矩阵A施行初等列变换得
æö1000
ç÷0100
A®ç÷，
ç÷2100
ç÷
èø1-100

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即存在可逆阵P，使得
æö1000
ç÷0100
AP=ç÷.
ç÷2100
ç÷
èø1-100

令(g12,g,g3,g4)=(e1,e2,,ee34)P，则g1,g2,,gg34也是V的一组基，因此

s(VL)=(s(g14),,×××sg()).

(s(g1),×××=,s(g4))(s(e14),,×××se())P

=(e1,e234,,ee)AP

æö1000
ç÷0100
=(e,e,,ee)ç÷.
1234ç÷2100
ç÷
èø1-100

s(g1)=e1+2e3+=ex41$°，s(g2)=e23+e-=ex42$°，s(g34)==sg()0.故

s()VL=(xx°12,°).

例2（2009年全国大学数学竞赛数学类试题）设V是复数域C上的n维线性空间(n>0)，fg,

是V上的线性变换.如果fg-=gff，证明：f的特征值都是0，且fg,有公共的特征向量.

解（1）设l是f的任一特征值，x是对应于l的特征向量，因此，f(x)=lx.

由于f=-fggf，所以

f(x)=-f(g(xx))gf(())，

即
lx=f(g(x))-g(lx)=-f(gg(x))lx(),

移项得
f(gg(x))=+l((xx))（1）

其次，

2
f(g(x))=-f(g(xx))gëûéùfg(())，

因此，

2
l(g(x)+x